Encontrar la función f(x)(F¤g )(x)=x^2-28x+16 y g (x)=2x-3
Como puedo encontrar f (x) sabiendo que la composición de f(x) y g (x) resulta x^2-28x+1
Teniendo como dato la g (x)
2 Respuestas
;)
Hola Anyara!
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f(g(x))=f(2x-3)=x^2-28x+16
Si reflexionas sobre el resultado de la composición, observarás que al aplicar la función f sobre un polinomio de primer grado (2x-3) este se transforma en uno de 2º grado. De esto deduzco que la función f(x) a de ser una función, también, de 2ºgrado .
$$\begin{align}&f(x)=Ax^2+Bx+C\\&\\&f(2x-3)=A(2x-3)^2+B(2x-3)+C= operando=\\&A(4x^2-12x+9)+2Bx-3B+C=\\&4Ax^2-12Ax+9A+2Bx-3B+C= agrupando \ términos \ del \ mismo \ grado \ de \ x=\\&\\&=4Ax^2+(-12A+2B)x+9A-3B+C\\&como \ \\&f(2x-3)=x^2-28x+16\\&igualando \ las \ funciones:\\&4Ax^2+(-12A+2B)x+(9A-3B+C)=x^2-28x+16\\&Igualando \ los \ coeficientes \ de \ cada \ término:\\&4A=1\\&-12A+2B=-28\\&9A-3B+C=16\\&\\&4A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{4}\\&sustituyendo \ en \ la \ segunda\\&\\&-12 \frac{1}{4}+2B=-28 \\&2B=-25\\&B=- \frac{25}{2}\\&\\&y \ en \ la \ tercera:\\&C=16-9A+3B=- \frac{95}{4}\\&\\&f(x)= \frac{1}{4}x^2- \frac{25}{2}x- \frac{95}{4}\end{align}$$saludos
;)
:)
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¡Hola Anyara!
Vamos a ver si me entero
$$\begin{align}&(f\circ g)(x)=x^2-28x+16\\&\\&g(x)=2x-3\\&\\&\text{entonces}\\&\\&(f\circ g)(x) = f[g(x)=f(2x-3)=x^2-28x+16\\&\\&\text{La función f muy bien puede ser un polinomio de grado 2}\\&\\&f(x)=ax^2+bx+c\\&\\&f(2x-3)= a(2x-3)^2+b(2x-3)+c =x^2-28x+16\\&\\&4ax^2-12ax+9a+2bx-3b + c = x^2-28x+16\\&\\&4ax^2+(-12a+2b)x +9a-3b+c=x^2-28x+16\\&\\&\text{tenemos estas tres ecuaciones}\\&\\&1)\quad 4a=1 \implies a=\frac 14\\&\\&2)\quad -12a+2b=-28\implies\\&-3+2b=-28\implies b= -\frac{25}{2}\\&\\&3)\quad 9a-3b+c=16\implies\\&\frac 94+\frac {75}2+c=16\implies\\&c=16-\frac 94-\frac {75}{2}=\frac{64-9-150}{4}=-\frac{95}{4}\\&\\&\text{Con ello f(x) es}\\&\\&f(x)=\frac{x^2}{4}-\frac{25x}{2}-\frac{95}{4}\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sierva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta.
Salu_dos.
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