Resolvre el siguiente problema de ecuaciones difernciales
Buenas tardes amigos de todo expertos espero me ayuden con este problema les agradezco que me describan las situaciones que planteen para poder exponerlo en clase
2 respuestas
$$\begin{align}&m \frac{dv}{dt}=mg-bv\\&\\&m \frac{dv}{dt} +bv=mg\\&\\&v'+\frac{b}{m}v=g\\&Ec.Difer \ 1r \ \ orden \ \ \ lineal\\&factor Integrante:\\&FI=e^{ \int \frac{b}{m}tdt}=e^\frac{bt}{m}\\&\\&multiplicando ED·FI\\&\\&e^\frac{bt}{m}v'+\frac{bv}{m}e^\frac{bt}{m}=g e^\frac{bt}{m}\\&\\&\Bigg( e^\frac{bt}{m}·v \Bigg)'=g e^\frac{bt}{m}\\&\\&Integrando:\\&e^\frac{bt}{m}·v= g \int e^\frac{bt}{m}=g \frac{m}{b} e^\frac{bt}{m}+C\\&\\&despejando \ v:\\&v(t)=\frac{gm}{b}+ C e^\frac{- bt}{m}\\&\\&v(0)=0 \Rightarrow 0=\frac{gm}{b}+C \Rightarrow C=- \frac{gm}{b}=- \frac{9.81·3}{3}=-9.81\\&\\&v(t)=9.81-9.81 e^\frac{-bt}{m}\\&\\&v(t)= \frac{ds}{dt}\\&\\&\frac{ds}{dt}=9.81-9.81 e^\frac{-bt}{m}\\&b/m=1\\&\\&ds=(9.81-9.81 e^\frac{-bt}{m})dt\\&integrando\\&s=\int (9.81-9.81 e^{-t})dt=9.81t+9.81e^{-t}+A\\&\\&s(0)=0 \Rightarrow 0=9.81+A \Rightarrow A=-9.81\\&\\&s(t)=9.81(t+e^{-t}-1)\\&\\&500=9.81(t+e^{-t}-1)\\&\\&\frac{500}{9.81}+1=t+e^{-t}\\&\\&\frac{50981}{981}-t=e^{-t}\\&\\&t=51.9684\\&\end{align}$$;)
Hola alber!
De la 2ª Ley de Newton:
La ecuación está resuelta con Wolfram/Alpha
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¡Ho_la Albert!
Aplicando las leyes de Newton la suma de las fierzas sobre el objeto será la masa por la aceleración.
La fuerza de la gravedad mg va en sentido negativo
Y la fuerza de resistencia del aireva hacia arriba y es proporcional a la velocidad. Como la velocidad es negativa será -bv para que sea una fuerza hacia arriba.
Dado que tenemos la velocidad en la ecuación será mejor poner que la suma de las fuerzas es la masa por la derivada de la velocidad.
$$\begin{align}&-mg-bv=m·\frac{dv}{dt}\\&\\&\text{dividimos por m}\\&\\&-g-\frac{bv}{m}=\frac {dv}{dt}\\&\\&\text{la ponemos asi:}\\&\\&v'+\frac{b}{m}v=-g\\&\\&\text{Es lineal de coeficientes constantes,}\\&\text{la ecuación carasterística es}\\&k+\frac bm=0\implies k=-\frac bm\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&v_{GH}=C·e^{-\frac bmt}\\&\\&\text{Y para particular de la completa probamos con}\\&v_P=K\\&\\&0+\frac bmK=-g\\&\\&K=-\frac{gm}b\\&\\&\text{Luego la solución general es}\\&\\&v(t) = v_{GH}+v_P= C·e^{-\frac bmt}-\frac{gm}{b}\\&\\&\text{Como } v(0)=0\\&\\&C-\frac{gm}{b}=0\\&\\&C=\frac {gm}{b}\\&\\&v(t)= \frac{gm}{b}e^{-\frac bmt}- \frac{gm}{b}\\&\\&v(t)=\frac{gm}{b}\left(-1+e^{-\frac bm t} \right)\\&\\&\text{Para obtener la posición se integra la velocidad}\\&\\&y(t)=\int \frac{gm}{b}\left(-1+e^{-\frac bm t} \right)dt=-\frac{gm}{b}\left[t +\frac mb e^{-\frac bm t}\right]+C\\&\\&\text{En t=0 tenemos } y(0)=500\\&\\&500=-\frac{gm^2}{b^2}+C\\&\\&C=500+\frac{gm^2}{b^2}\\&\\&y(t)=-\frac{gm}{b}\left[t +\frac mb e^{-\frac bm t}\right]+500+\frac{gm^2}{b^2}\\&\\&y(t)=-\frac{gm}{b}\left[t+\frac mb\left(-1+e^{-\frac bm t} \right) \right]+500\\&\\&\text{Toca el suelo cuando y=0, pongamos ya datos}\\&\\&-\frac{9.81·3}{3}\left[t+\frac 33\left(-1+e^{-\frac 33 t} \right) \right]+500=0\\&\\&9.81(t-1-e^{-t})=500\\&\\&t-1-e^{-t} = 50.96839959\\&\\&\text{Cuando t es grande }\implies e^{-t}\to 0\text{ muy rápido}\\&\text{podemos despreciarlo, la solución muy aproximada es}\\&\\&t-1 = 50.96839959\\&\\&t=51.96839959\\&\\&\\&\end{align}$$Como ahora venga el antiexperto de Herrera a poner un vídeo me lo como.
Salu_dos.
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