Demostración del producto de vectores unitarios

;)
Hola Maar!

Lo puedes hacer de dos maneras:

1) Aplicando la definición del producto escalar

2) Utilizando la fórmula del producto escalar en componentes

1)

$$\begin{align}&\vec{u}·\vec{v}=|\vec u|·|\vec v|·\cos \alpha\\&\\&\vec{i}·\vec i=|\vec i|·|\vec i |·\cos 0º=1·1·1=1\\&\vec{j}·\vec j=|\vec j|·|\vec j |·\cos 0º=1·1·1=1\\&\vec{k}·\vec k=|\vec k|·|\vec k |·\cos 0º=1·1·1=1\\&\\&b)\\&\vec{i}·\vec j=|\vec i|·|\vec j |·\cos 90º=1·1·0=0\\&\vec{i}·\vec k=|\vec i|·|\vec k |·\cos 90º=1·1·0=0\\&\vec{j}·\vec k=|\vec j|·|\vec k |·\cos 90º=1·1·0=0\\&\\&2)\\&\vec u· \vec v=(u_1,u_2,u_3)(v_1,v_2,v_3)=u_1·v_1+u_2·v_2+u_3·v_3\\&\vec i· \vec i=(1,0,0)·(1,0,0)=1+0+0=1\\&\vec j·\vec j=(0,1,0)·(0,1,0)=0+1+0=1\\&\vec k·\vec k=(0,0,1)·(0,0,1)=0+0+1=1\\&\\&\vec i· \vec j=(1,0,0)·(0,1,0)=1·0+0·1+0·0=0\\&\vec j·\vec k=(0,1,0)·(0,0,1)=0+0+1=0\\&\vec i· \vec k=(1,0,0)·(0,0,1)=0\end{align}$$

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¡Hola Maar!

Habría que saber que materia estás dando. Si es Álgebra seguramente necesitas la demostración de la suma de productos de componentes, si es Física será el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman.

En Álgebra pondrías los vectores así

i=(1,0,0);   j=(0,1,0);   k=(0,0,1)

y el producto escalar se define así

(u1,u2,u3)·(v1,v2,v3) = u1·v1+u2·v2+u3·v3

con lo cual

a)

i·i=(1,0,0)·(1,0,0) = 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1+0+0 = 1

j·j=(0,1,0)·(0,1,0) = 0·0 + 1·1 + 0·0 = 0+1+0 = 1

k·k=(0,0,1)·(0,0,1) = 0·0 + 0·0 + 1·1 = 0+0+1 = 1

b)

i·j=(1,0,0)·(0,1,0) = 1·0 + 0·1 +  0·0 = 0+0+0 = 0

i·k=(1,0,0)·(0,0,1) = 1·0 + 0·0 + 0·1 = 0+0+0 = 0

j·k=(0,1,0)·(0,0,1) = 0·0 + 1·0 + 0·1 = 0+0+0 = 0

·

En física sería

u·v = |u|·|v|· cos(u,v)

Entonces fijémonos que los vectores i, j, k son unitarios, su módulo vale 1. Y que entre dos distintos el ángulo que forman es 90º. Con lo cual

i·i = j·j = k·k = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1

i·j = i·k = j·k = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0

·

Y eso es todo.

Salu_dos.

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