Demuestre la siguiente identidad trigomometrica 2arcsenx=arcsen (2x√1-x^2)

;)
Hola Anyara!

Aplicaremos la función seno a ambos miembros de la igualdad.

Recuerda que el sen(x) y arcsen(x) son funciones inversas, luego sen(arcsen(x))=x

También necesitaremos utilizar la fórmula del seno del ángulo doble:

sen(2x)=2senx·cosx

y la Formula Fundamental: sen^2(x)+cos^2(x)=1

Procedamos:

$$\begin{align}&2arcsinx=arcsin(2x \sqrt {1-x^2})\\&\\&sen(2arcsinx)=sen(arcsen(2x \sqrt{1-x^2}))\\&\\&sen(arcsen(2x \sqrt{1-x^2}))=2x \sqrt{1-x^2}\\&\\&sen(2·arcsenx)=angulo \ doble=2sen(arcsenx)\cos(arcsenx)=\\&fórmula \ fundamental\\&=2x·\sqrt{1-sen^2(arcsenx)}=2x \sqrt{1-sen(arcsenx)·sen(arcsenx)}=2x \sqrt{1-x^2}\\&\\&c.q.d.\\&\\&\end{align}$$

luego los dos miembros son iguales

c.q.d.(como queríamos demostrar)

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¡Hola Anyara!

$$\begin{align}&2 arcsen\,x=arcsen \left( 2x \sqrt{1-x^2} \right)\\&\\&Sea\; \;y=arcsen\,x\\&\\&\text{por definición se cumple}\\&\\&seny=x\\&\\&\text{Aplicando la fórmula del seno del ánguloo doble}\\&\\&sen \,2y=2seny·cosy = 2seny·\sqrt{1-sen^2y}=2x \sqrt{1-x^2}\\&\\&\text{tomando arcsen en los dos extremos}\\&\\&arc sen(sen\,2y)=arc sen\left(2x \sqrt{1-x^2}\right)\\&\\&2y = arc sen\left(2x \sqrt{1-x^2}\right)\\&\\&\text{sustituyendo y por su valor}\\&\\&2 arc sen\,x= arc sen\left(2x \sqrt{1-x^2}\right)\end{align}$$

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