Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo.
Quisiera saber si me podrían ayudar con este ejercicio de calculo multivariado muchas gracias.
Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volumen sometido a la restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda de 108 pulgadas.
1 Respuesta
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¡Hola José!
Vamos a aclararnos. El paquete tiene tres dimensiones: x, y, z.
Llamaré x a la longitud.
Entonces la sección transversal será la que corta perpendicularmente al eje X por lo que su perímetro será 2y+2z
Luego la restricción será
x+2y+2z <= 108
Y la función a maximizar es
V(x,y,z) = xyz
Es una tontería pensar que x+2y+2z < 108 porque se podría agrandar cualquiera de las tres medidas y el volumen sería mayor, asi que la restricción es
x+2y+2z = 108
Y esto es un problema de máximos. Su pongo que por la naturaleza del problema ya habéis dado los multiplicadores de Lagrange, luego lo resuelvo por ellos.
Basicamente tendremos una función a maximizar
V(x,y,z) = xyz
sujeta a la restricción
phi(x,y,z) = x + 2y + 2z - 108 = 0
Por cada función de restricción se toma un multiplicador de Lagrange, en este caso uno que se suele llamar lambda. Y se forma un sistema de 4 ecuaciones del que se deben despejar x, y, x, lambda. Hay que razonar un poco si tiene varias respuestas para hacer que la solción que demos sea el máximo y no un mínimo o un punto de inflexión.
El sistema de ecuaciones será.
$$\begin{align}&1)\quad \frac{\partial V}{\partial x}+\lambda·\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0\\&\\&2)\quad \frac{\partial V}{\partial y}+\lambda·\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0\\&\\&3)\quad \frac{\partial V}{\partial z}+\lambda·\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0\\&\\&4)\quad\varphi =0\\&\\&\text{Que para este problema son}\\&\\&1)\quad yz+\lambda=0 \implies \lambda=-yz\\&\\&2)\quad xz+2\lambda=0\implies xz-2yz=0\implies z(x-2y)=0\\&\\&\text{si z=0 tendrás V=0, no sirve, luego }\\&x-2y=0\implies x=2y\\&\\&3)\quad xy+2\lambda=0\implies xy-2yz=0\implies2y^2-2yz=0\implies\\&\qquad2y(y-z)=0\\&\\&\text{Si y=0 lo mismo de antes, V=0, luego}\\&y-z=0\\&y=z\\&\text{Tomando y como referencia será}\\&x=2y\\&y=y\\&z=y\\&\\&4)\quad x+2y+2z-108=0\\&\\&\text{sustituyendo los valores recién escritos}\\&2y+2y+2y = 108\\&6y = 108\\&y=18\\&\\&Luego\\&x=2y=36\, pulgadas\\&y=18\,pulgadas\\&z=18\,pulgadas\\&\\&V_{máx}=36·18·18=666\; pulgadas^3\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Cuidado, es paquete es diabólico.
Y eso es todo, salu_dos.
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