Dar una forma alternativa para realizar las sig. Operaciones evitando la perdida de dígitos significativos, para por próximo a 0
a) (a+x)^n - a^n, para a>0, x>0
b) log(a+x) - log(a), para a>0
c)sin(a+x)-sin(a-x)
El tema es reducir el error de estas operaciones, simplificándolas.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Patricio!
No es un tema de los más vistos en matemáticas. Yo lo que veo es que en primera y segunda me estás dando la parte de arriba de la derivada, es decir la diferencial de y.
$$\begin{align}&f'(a)= \lim_{x\to 0}\frac{f(x+a)-f(a)}{x}\\&\\&\text{Para x pequeño}\\&\\&\frac{f(x+a)-f(a)}{x}\approx f'(a)\\&\\&f(x+a)-f(a) \approx x·f'(a)\\&\\&Entonces\\&\\&a)\\&\\&f(z)=z^n\implies f'(z)=n·z^{n-1}\implies f'(a)=n·a^{n-1}\\&\\&(a+x)^n-a^n \approx x·n·a^{n-1}\\&\\&\\&b)\\&\\&f(z) =log(z) \implies f'(z)=\frac 1z\implies f'(a)=\frac 1a\\&\\&log(a+x)-log(a)=x·\frac 1a=\frac xa\\&\end{align}$$Y el c sería un poco más complicado. Pero antes de hacerlo quiero saber si lo que he hecho es lo que os piden. O quiza sea esto pero mejorado usando la fórmula de Taylor que sería algún termino mas del desarrollopor ejemplo:
$$\begin{align}&f(x+a)-f(a)=f'(a)·x+\frac{f''(a)}{2}x^2+\frac{f'''(a)}6x^3+....\end{align}$$Eso sería más exacto pero más complicado de calcular.
Pues eso dime si se hacen así o es otra cosa distinta.
Salu_dos.
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