¿Es posible resolver este problema de matemáticas?
Disulpa que insista con la pregunta, pero quisiera saber si es posible la solución a un problema asi, http://letrasapropiadas.blogspot.pe/2016/04/ejercicio-matematico-323.html o no tiene demostración.
2 respuestas
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¡Hola Stronge!
No me digas como el otro ejercicio que había otra demostración más corta porque no han puesto la demostración de ese ejercicio.
Y en este ya se que hay una forma mucho más corta probando cuál de las respuestas que nos dan cumple, pero yo quiero hacer algo más ambicioso y encontrar todas las soluciones que pudiera haber si hay más de una, por eso será más largo.
El numero de divisores es el producto de los exponentes incrementados en una unidad.
$$\begin{align}&n=p_1^{i_1}·p_2^{i_2}···p_k^{i_k}\\&\\&\text{numero de divisores = }(i_1+1)(i_2+1)···(i_k+1)\\&\\&\text{En el que tiene 12 estos factores pueden ser}\\&2·2·3\\&2·6\\&3·4\\&\text{En el que tiene 15 pueden ser}\\&3·5\\&\\&\text {Luego por fuerza son dos factores primos}\\&\text{Y el de 15 factores será}\\&n_{15}=p^2q^4\\&\\&\text{mientras que el de 12 factores puede ser}\\&n_{12}=pq^5,\quad p^5q,\quad p^2q^3,\quad p^3q^2 \\&\\&|n_{15}-n_{12}|=2300 = 2^2·5^2·23\\&\\&\text{examinamos los cuatro casos posibles}\\&\\&1) \quad |p^2q^4-pq^5|=pq^4|p-q|\\&\text {imposible, no hay un exponente 4 en 2300}\\&\\&2)\quad |p^2q^4-p^5q|=p^2q|q^3-p^3|\\&\text{podría ser}\\&\\&3)\quad |p^2q^4-p^2q^3|=p^2q^3(q-1)\\&\text{Imposible, no hay un exponente 3 en 2300}\\&\\&4)\quad |p^2q^4-p^3q^2|=p^2q^2|q^2-p|\\&\text{Podria ser}\\&\\&\text{Comenzamos por el caso 4}\\&p^2q^2|q^2-p|=2^2·5^2·23\\&\text{Si se cumple tiene que ser con: }p=2,q=5\\&2^2·5^2|5^2-2|=2^2·5^2·23\\&\text{luego se cumple}\\&n_{12}=p^3q=2^3·5^2 = 8·25=200\\&n_{15}=p^2·q^4=2^2·5^4 = 4·625=2500\\&n_{12}+n_{15}=200+2500 = 2700\\&\\&\text{Ya tenemos una respuesta, pero vamos a ver}\\&\text{si hay otras en el complicado caso 2}\\&\\&\quad |p^2q^4-p^5q|=p^2q|q^3-p^3|=2^2·5^2·23\\&\\&\text{p debe ser 2 o 5}\\&\text{1) Si p=2}\\&4q|q^3-8|=4·5^2·23\\&\text{q será 5 o 23}\\&\text{Si q=5}\implies 4·5|125-8|=4·5·117=2340\neq 2300\\&\text{Si q=23}\implies4·23|23^3-8|=demasiado\\&\\&\text{2) Si p=5}\\&25·q|q^3-125|=2^2·5^2·23\\&\text{q será 2 o 23}\\&\text{Si q=2}\implies25·2|8-125|=5850\neq 2300\\&\text{Si q=23}\implies25·23·|12167-125|=demasiado\\&\\&\end{align}$$Luego la única solución es 2700
Y eso es todo, salu_dos.
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¡Ho_la Stonger!
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Salu_dos.
Esta bien, gracias, ya la cambie
Si esa era la forma fácil, pero yo dije que iba a comprobar si había más respuestas o no.
Te lo agradecería si me sacaras de esta duda...
Ese noche me las ingenie para responder esa pregunta jej, y me salio, el truco estaba en ver que números al sumar salia 2700 y al restar saliera 2300, los únicos números que cumplían esa función eran .. (no me recuerdo pero si habían) con esos dos números, el primero lo descompuse y cumplió que tenia 12 divisores, y el numero también tenia 15 divisores, y ambos con los mismos factores primos.