Problema de optimización de función a trozos...
Un equipo de fútbol de un pueblo de ávila hace la campaña de abonados de la temporada, con 100 socios o menos el carnet cuesta 40€ y si se sobrepasa los 100 abonados, por cada abonado adicional la cuota se rebaja en 0,20€ ¿Cúal será el número máximo de abonados para obtener el máximo beneficio?
2 respuestas
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¡Hola Elsepu!
Los dos trozos de la función son;
f(x) = 40x si x<=100
f(x) = (40 - 0.20·(x-100))x = (40 - 0.20x + 20)x= 60x - 0.20x^2 si x>100
El primer trozo es una función lineal creciente su máximo será para x=100, sera 4000
Para hallar el máximo del segundo trozo derivamos e igulamos a 0
f'(x) = 60 - 0.40x = 0
0.40x = 60
x = 60 / 0.40 = 150
La derivada segunda es
f''(x) = -0.40<0 luego es un máximo
Y el valor de este máximo es
f(150) = 60·150 - 0.20·150^2 = 9000 - 0.2·22500 = 9000 - 4500 = 4500
Y entre los dos máximos: 4000 y 4500 este segundo es el mayor.
Luego el número de socios para obtener el máximo beneficio es 150.
Y eso es todo.
Salu_dos.
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;)
Hola elsepu!
La función es:
f(x)=40x si x <=100
f(x)=[40-0,20(x-100)]x=-0,20x^2+60x si x>100
si x<=100 , el máximo ingreso está en 100:
f(100)=40·100=4000 €
Si x>100, buscamos el máximo derivando:
f'(x)=-0,40x+60
f'(x)=0 -0,40x+60=0 x=60/0,40= 150 abonados
f(150)=(40-0,20·50)·150=4500 €
Luego el máximo está con 150 abonados
Saludos
;)
;)