Si N1,N2 son subgrupos normales y N1˄N2=[e] entonces n1n2=n2n1 para todo ni ϵ Ni
Alguna sugerencia de como demostrar este ejercicio. Que implica que N1 interceptado con N2 es igual al conjunto que tiene como unico elemento neutro.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola De Oro Luis!
Toma el elemento
$$\begin{align}&Dados\\&n_1\in N_1\\&n_2\in N_2\\&\\&\text{toma el elemento}\\&\\&n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1·n_2\\&\\&\text{puedes considerarlo como}\\&(n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1)·n_2\\&\text{entonces}\\&n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1\in N_2\\&\text{ya que }n_2^{-1}\in N_2\; y \;N_2\text{ es subgrupo normal}\\&\text{y como }n_2\in N_2\\&(n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1)·n_2 \in N_2\\&\\&\text{y puedes considerarlo como}\\&n_1^{-1}·(n_2^{-1}·n_1·n_2)\\&entonces\\&n_2^{-1}·n_1·n_2 \in N_1\\&\text{ya que }n_1^{-1}\in N_1\; y \;N_1\text{ es subgrupo normal}\\&\text{y como }n_1^{-1}\in N_1\\&n_1^{-1}·(n_2^{-1}·n_1·n_2)\in N_1\\&\\&Luego\\&n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1·n_2 \in N_1\cap N_2\implies\\&n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1·n_2=e\\&\\&\text{Y multiplicando a izquierdas por }n_2·n_1\\&n_2·n_1·n_1^{-1}·n_2^{-1}·n_1·n_2= n_2·n_1\\&n_2·(n_1·n_1^{-1})·n_2^{-1}·n_1·n_2= n_2·n_1\\&n_2·e·n_2^{-1}·n_1·n_2= n_2·n_1\\&(n_2·n_2^{-1})·n_1·n_2= n_2·n_1\\&e·n_1·n_2= n_2·n_1\\&n_1·n_2=n_2·n_1\\&\end{align}$$Y eso es todo, ojalá lo hayas entendido, si no es así pregunta. Y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta.
Salu_dos.
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