Ejercicios de determinantes,Considere el triángulo de la figura
Considere el triángulo de la figura
a. Usando trigonometría elemental, muestre que { 𝑐𝐶𝑜𝑠𝐴 + 𝑎 𝐶𝑜𝑠𝐶 = 𝑏 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴 + 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 𝑐 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 𝑎
b. Si el sistema de la parte (a) se considera como un sistema de tres ecuaciones en las tres incógnitas𝐶𝑜𝑠𝐴,𝐶𝑜𝑠𝐵,𝐶𝑜𝑠𝐶, pruebe que el determinante del sistema no es cero.
c. Use la regla de Cramer para resolver el sistema para𝐶𝑜𝑠
1 respuesta
;)
Hola Rocío!
Trazando la altura de C, y aplicando trigonometría básica a los triángulos rectángulos de la izquierda y la derecha, obtienes los trozos bcosA y acosB, (como bien tienes en el dibujo) cuya suma es:
bcosA+acosB=c
Si haces lo mismo para la altura de A, obtienes
a=ccosB+bcosC
Y para la altura de B:
b=ccosA+acosC
Estas dos últimas ecuaciones las tienes mal
planteando el sistema:
bcosA+acosB =c
ccosB+bcosC =a
ccosA +acosC =b
donde los cosenos son las incógnitas.
Para que sea de Cramer el sistem tiene que cumplir que el determinante de los coeficientes ha de ser distinto de cero:
Determinante: (lo escribo como puedo)
|b a 0|
|0 c b|= abc+abc= 2abc
|c 0 a|
luego es distinto de cero.
Aplicando la Regla de Cramer:
|c a 0|
cosA=1/2abc · |a c b | = (1/2abc) (c^2a+ab^2-a^3)=simplificando a=
|b 0 a|
(c^2+b^2-a^2)/(2bc)
|b c 0|
cosB= (1/2abc)· |0 a b| = (1/2abc)(a^2b+c^2b-b^3)= simplificando b=
|c b a|
(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
|b a c|
cos C=(1/2abc)· |0 c a| =(1/2abc)(b^2c+ca^2-c^3)= simplificando c=
|c 0 b|
(b^2+a^2-c^2)/(2ab)
Saludos
;)
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;)
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