Matemáticas - Planteamiento problema álgebra lineal
En base a este problema prototipo que ya está resuelto, me pueden ayudar a contestar las siguientes preguntas:
¿Cómo puedes saber cuántas soluciones tienen los sistemas de los ejemplos?
¿Cómo resuelves los sistemas de los ejemplos, qué métodos puedes usar y porqué elegiste uno en especial?
1 respuesta
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¡Hola Fred!
El enunciado es apabullante para al final preguntar solo dos cosas sencillas.
La respuesta depende de la cantidad de algebra que habéis estudiado, yo no lo sé. Pero creo que ya habréis dado las matrices y la resolución de ecuaciones lineales mediante matrices y todo la teoría sobre los sistemas compatibles deteminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Si ponemos este sistema en forma matricial será:
11 -3 0 | 30
-3 6 -1 | 5
.0 -1 3 |-25
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No ha quedado nada bonito para hacer operaciones de fila, pero el método de sustitución es peor todavía. Luego lo resolveremos por operaciones de fila.
Si solo quisiéramos saber si hay respuesta única se puede asegurar que la habrá si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero
|C| = 11·6·3 +(-3)·(-1)·0 + 0·(-3)·(-1) - 0·6·0 - (-3)·(-3)·3 -11·(-1)·(-1)=
198 + 0 +0 - 0 - 27 - 11 = 160
Luego hay respuesta única.
Si el determinante hubiera dado 0 hubiese sido necesario hacer operaciones de fila para hacer ceros por debajo de la diagonal. Si una fila tuviera tres ceros y el cuarto número no fuera 0 sería un sistema incompatible y no habría soluciones mientras que si las filas con los tres primeros 0 también tienen 0 en el cuarto el sistema es compatible determinado y tiene infinitas soluciones dependientes de tantos parámetros como filas con todo ceros haya.
Y para resolver, multiplicaremos la primera por 3 y la segunda por 11
.33 -9 0 | 90
-33 66 -11 | 55
.0 -1 3 |-25
Sumamos la primera a la segunda
.33 -9 0 | 90
.0 57 -11 | 145
.0 -1 3 |-25
Y ahora se podrían intercambiar segunda y tercera, pero no hace falta, lo que hare es multiplicar la tercera por 57 y sumarla a la segunda
.33 -9 0 | 90
.0 0 160 | -1280
.0 -1 3 |-25
Y con esto ya podemos depejar I3
I3 = 1280 / 160 = -8
Ahora vamos a la tercera fila y sustituimos el valor de I3
-I2 + 3·I3 = -25
-I2 +3·(-8) = -25
-I2 -24 = -25
-I2 = -1
I2 = 1
Y ahora con este valor vamos a la primera.
33·I1 - 9·I2 = 90
33·I1 - 9·1 = 90
33·I1 - 9 = 90
33·I1 = 99
I1 = 99/33 = 3
Luego la solución es:
I1=3, I2=1, I3=-8
Y con respecto a los métodos está el que he empleado que sería el de Gauss sin cambiar las filas al final. El de hacer ceros por todo menos en la diagonal que es el de Gauss Jordan. Y luego están los métodos de toda la vida de sustitución e igualación. No se suelen emplear a no ser que con ellos se vea fácil la solución. Y el método de reducción está incluido en las operaciones de fila que hemos hecho.
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