Como Calcular las siguientes derivadas

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¡Hola Laura!

Hacemos un máximo de dos derivadas por pregunta, haré las dos primeras.

Primero te pondré todo el conjunto de reglas que utilizaré, aunque todos los pasos no los daré porque algunos son tan obvios que anotarlos lía más que ayuda.

$$\begin{align}&(f+g)'=f'+g'\\&(k·f(x))' = k·f'(x)\qquad k\in \mathbb R\\&(fg)' = f'g+fg'\\&\left(\frac fg  \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\&(f[g(x)])'=f'[g(x)]·g'(x)\\&\\&\text{Y las específicas para estas derivadas son:}\\&(x^n)'=nx^{n-1}\\&(e^x)'=e^x\\&\\&\\&5) f(x)=\frac{x^2-1}{2x+2}\\&\\&f'(x)=\frac{(x^2-1)'·(2x+2)-(x^2-1)·(2x+2)'}{(2x+2)^2}=\\&\\&\frac{2x(2x+2)-(x^2-1)·2}{(2x+2)^2}=\\&\\&\frac{4x^2+4x-2x^2+2}{(2x+2)^2}=\\&\\&\frac{2x^2+4x+2}{(2x+2)^2}=\\&\\&\text{pero esto se puede simplificar mucho}\\&\\&= \frac{2(x^2+2x+1)}{(2(x+1))^2} = \frac{2(x+1)^2}{4(x+1)^2}=\frac 24=\frac 12\\&\\&\text{Pero lo mejor y que nadie suele darse cuenta}\\&\text{hubiera sido simplificar la función antes de derivar}\\&\\&f(x)=\frac{x^2-1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)}=\frac{x-1}{2}\\&\\&f'(x)=\frac 12\\&\\&-----------------\\&\\&6) f(x)=3x·e^{2x^2+1}\\&\\&f'(x) = (3x)'·e^{2x^2+1}+3x·\left(e^{2x^2+1}\right)'=\\&\\&3e^{2x^2+1}+3x·e^{2x^2+1}·(2x^2+1)'=\\&\\&3e^{2x^2+1}+3x·e^{2x^2+1}·4x=\\&\\&3e^{2x^2+1}+12x^2e^{2x^2+1}=\\&\\&\text{Y se puede sacar factor común}\\&\\&= 3e^{2x^2+1}(1+4x^2)\\&\end{align}$$

Y eso es todo, salu_dos.

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Te dejo los otros 2. Las reglas, ya te las dejó el Profe, te agrego solo las reglas que faltan que son:

$$\begin{align}&(a^x)' = a^x\cdot ln a         (\forall a \in R)\\&(sen x)' = \cos x\\&---\\&7) f(x)=sen^2(3x^2+2)\\&f'(x) = 2sen(3x^2+2) \cos(3x^2+2)(6x)=12\cdot x \cdot sen(3x^2+2)\cos(3x^2+2)\\&(\text{Puedes dejarlo así, o sabiendo que }sen(2 \alpha) = 2 \cdot sen \alpha \cdot \cos \alpha)\\&f'(x) = 12\cdot x \cdot sen(3x^2+2)\cos(3x^2+2) = 6\cdot x \cdot sen(2(3x^2+2))\\&---\\&8) f(x) = 2^{senx}\cdot x^3\\&f'(x) = 2^{senx} ln 2 \cdot \cos x \cdot x^3+2^{senx}\cdot 3 \cdot x^2\end{align}$$