Sea T una aplicación tal que T:G→H de modo que T(g*g´)=T(g)*T(g´) para todo g,g´ϵ G.
sea Ker(T)=[g ϵ G: T(g)=eh] un subgrupo de G. Eg y eh sonlos elementos neutros de G y H respectivamente. Demuestre que el conjunto de ker(T) es un subgrupo normal de G.
1 Respuesta
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¡Hola Luis!
Se supone que G no es vacío para poder empezar a hacer algo. Entonces existe al menos eg
$$\begin{align}&T(e_g)=T(e_g·e'_g)= T(e_g)·T(e_g')=T(e_g)·T(e_g)\\&\\&\text{multiplicamos por } [T(e_g)]'\text{ en primera y última}\\&\\&T(e_g)· [T(e_g)]'=T(e_g)·T(e_g)·[T(e_g)]'\\&\\&e_h=T(e_g)\\&\\&luego \\&\\&e_h\in Ker(T)\implies Ker(T)\neq \emptyset\\&\\&\text{Veamos que } [T(a')]'=T(a)\\&\\&e_h= T(e_g)=T(a·a')=T(a)·T(a')\implies\\&e_h·[T(a')]'=T(a)·T(a')·[T(a')]'\implies\\&[T(a')]'=T(a)\\&\\&\text{Veamos que es subgrupo, por el teorema}\\&\text{de caracterización de subgrupos}\\&\\&Sean\;\text a,b\in Ker(T)\\&T(a)=T(b)=e_h\\&\\&e_h=T(e_g)=T(a·b'·(a·b')')=T(a·b')·T((a·b')')\\&\end{align}$$Vamos a ver que a lo mejor lo he entendido mal porque no me sale nada.
¿Con g y g' quieres decir dos elementos cualesquiera de G o quieres decir un elemento y su inverso?
Es que yo estoy interprentando que son inversos y no veo ningún futuro.
Espero la aclaración.
Saludos.
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Después de pensar logre realizar el ejercicio de esta forma espero y lo comprenda.
Gracias!.
Es que normalmente se dice que T es una aplicación lineal en vez de decir que para todo g, g' de G se cumple T(g·g') = T(g)·T(g')
Por eso pensé que con g y g' querían decir dos elementos opuestos y hubiera sido un ejercicio muy interesante pero que no veo la forma de demostrarlo.
Entonces con lo que dices T es la aplicación lineal normal y corriente de toda la vida y el ejercicio es muy simple, tanto que creo que podría ser teoría en algunos libros.
Para ver que Ker(T) es un subgrupo aplicamos el teorema de caracterización de subgrupos. Primero veremos Ker(T) es un subconjunto no vacío y luego que tomando un elemento a de Ker(T) y el inverso de otro elemento b de Ker(t), el producto de ambos pertenece al subconjunto .
$$\begin{align}&T(e_g)=T(e_g·e_g)= T(e_g)·T(e_g)\\&\\&\text{Y multiplicando por el inverso}\\&\\&[T(e_g)]^{-1}·T(e_g)=T(e_g·e_g)=[T(e_g)]^{-1}· T(e_g)·T(e_g)\\&\\&e_h = T(e_g)\\&\\&\text{Luego }e_g\in Ker(T)\neq\emptyset\\&\\&\text{Y ahora sean }a, b\in Ker(T)\\&\\&T(a·b^{-1})=T(a)·T(b^{-1})=e_h·T(b^{-1})=T(b^{-1})\\&\\&\text{Tenemos que demostrar que }T(b^{-1})=e_h\\&\\&e_h=T(e_g)=T(b·b^{-1})=T(b)·T(b^{-1})= e_h·T(b^{-1})=T(b^{-1})\\&\\&\text{Luego en resumen}\\&\\&T(a·b^{-1}) = e_h\implies ab^{-1}\in Ker(T)\implies Ker(T)\le G\\&\\&\text{Y queda por ver que es un subgrupo normal}\\&\\&\text{Sea }g\in G, k\in Ker(T)\\&\\&T(g^{-1}·k·g)=T(g^{-1})·T(k)·T(g)=T(g^{-1})·e_h·T(g)=\\&\\&T(g^{-1})·T(g)=T(g^{-1}·g)=T(e_g)=e_h\\&\\&\text{luego }\\&\\&g^{-1}·k·g\in Ker(T)\;\forall g\in G,k\in Ker(T)\implies Ker(T)\unlhd G\end{align}$$Y eso es todo, sube la nota a Excelente abajo por favor, es la forma en que contestaré más preguntas.
Saludos,
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¡Gracias! Y bueno en su repuesta final, no era necesario demostrar que el Ker(T) era subgrupo porque no los dan en la hipótesis. Pero si esta bien.
