Ejercicios de derivadas para resolver
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;)
Se deriva Implicitamente, sin despejar la y=f(x)
Al derivar implicitamente, las reglas son las mismas(suma, producto, cociente)
Solo has de tener en cuenta que cuando derivas x, no es lo mismo que derivar y (en este último caso has de aplicar la regla de la cadena).
Así:
D(senx)=cosx
D(seny)=cosy·y'
Como tenemos igualdades, derivamos los dos miembros e igualamos:
$$\begin{align}&2)\\&x^2y+y^2x=8\\&\\&D(x^2y) \rightarrow regla \ del \ producto\\&2xy+x^2y'+2yy'x+y^2·1=0\\&\\&factor \ común \ y':\\&y'(x^2+2yx)=-y^2-2xy\\&\\&y'=\frac{-y^2-2xy}{x^2+2yx}\\&\\&3)\\&2senxcosy=1\\&\\&2cosxcosy+2senx(-seny)y'=0\\&\\&2cosxcosy=2senxseny·y'\\&\\&y'=\frac{2cosxcosy}{2 senxseny}\\&\\&y'=cotgxcotgy\end{align}$$saludos
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1 respuesta más de otro experto
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¡Hola César!
Para derivar implícitamente se deriva la expresión respecto de x, teniendo en cuenta que y es una función de x y por lo tanto cuando haya que derivarla se escribirá y'. Una vez hecho esto se despeja y'
$$\begin{align}&2)\quad x^2y+y^2x=8\\&\\&2xy+x^2y' +2yy'x+y^2=0\\&\\&x^2y'+2xyy'=-2xy-y^2\\&\\&(x^2+2xy)y' =-2xy-y^2\\&\\&y' = -\frac{-2xy-y^2}{x^2+2xy}\\&\\&\\&\\&3)\quad 2sen\,x·\cos y=1\\&\\&2 \cos x·\cos y +2 sen\, x·(-sen\, y)·y'=0\\&\\&-2 sen\, x·sen\, y·y'=-2 \cos x·\cos y\\&\\&y'=\frac{\cos x·\cos y}{senx ·seny}= ctg\,x·ctg \,y\\&\\&\text{Yo prefiero la expresión penúltima}\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido.
S_aludos.
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