Resolver las ecuaciones diferenciales de grado n, analizando la ecuación característica

Planteamos la solución a la ecuación auxiliar

$$\begin{align}&4m^2 - 8m + 5 = 0\\&m_{1,2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{2\cdot 4}=\\&\frac{8\pm \sqrt{64-80}}{8}=\\&m_{1,2}= 1 \pm \frac{1}{2}i\\&\text{Como las raíces son complejas, la solución es:}\\&y=e^x\bigg(C_1 \cos(\frac{x}{2}) + C_2 sen(\frac{x}{2})\bigg)\end{align}$$

Y como no tenemos más información, no podemos calcular los valores de C_1 y C_2

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¡Hola Omar!

Es una ecuación lineal de coeficientes constantes homogénea. Para resolverla calculamos las raíces de la ecuación característica.

$$\begin{align}&4k^2-8k+5=0\\&\\&k=\frac{8\pm \sqrt{64-80}}{8}=\frac{8\pm \sqrt{-16}}{8}=\\&\\&1\pm \frac 12 i\\&\\&\text{Cuando las raíces son complejas conjugadas }\\&\\&r_1=\alpha+\beta i\\&r_2=\alpha-\beta i\\&\\&\text{la solución general es}\\&\\&y=e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x+C_2\,sen\; \beta x)\\&\\&\text{luego esta vez es}\\&\\&y=e^x\left(C_1 \cos \frac x2+C_2 \;sen\,\frac x2\right)\end{align}$$

Sal_udos.

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