Clasificar las distintas ecuaciones de grado n mediante el método correcto para resolver las ecuaciones
(Euler, coeficientes indeterminados, variación de parámetros).
Tengo este ejemplo para resolver
$$\begin{align}&y'' - 5y' + 3y = xe^(2x)\end{align}$$
2 respuestas
;)
Hola omar!
Es una Ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden no homogénea.
La solución general es la suma de la solución de la homogénea más una solución particular.
Ecuación homogénea:
y''-5y'+3y=0
ecuación característica:
$$\begin{align}&m^2-5m+3=0\\&\\&m=\frac{5 \pm \sqrt {13}}{2}\\&\\&raíces \ reales \ distintas:\\&\\&y_H=c_1e^{\frac{5 +\sqrt {13}}{2}x}+c_2e^{\frac{5 - \sqrt {13}}{2}x}\\&\\&y_P=(Ax+B)e^{2x}\\&derivandola\\&y'=Ae^{2x}+(Ax+B)2e^{2x}=e^{2x}(2Ax+A+2B)\\&y''=2e^{2x}(2Ax+A+2B)+e^{2x}(2A)=e^{2x}(4Ax+4A+4B)\\&\\&sustituyendo \ en \ la \ ED:\\&\\&e^{2x}(4Ax+4A+4B)-5e^{2x}(2Ax+A+2B)+3e^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}\\&\\&-3Ax-A-3B=x\\&\Rightarrow\\&igualando \ coeficientes:\\&-3A=1 \Rightarrow A= \frac{-1}{3}\\&\\&-A-3B=0 \Rightarrow B=-\frac{A}{3}=\frac{1}{9}\\&\\&y_P=(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9})e^{2x}\\&\\&y_G=y_H+y_P=c_1e^{\frac{5 +\sqrt {13}}{2}x}+c_2e^{\frac{5 - \sqrt {13}}{2}x}+(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9})e^{2x}\\&\\&\\&\end{align}$$saludos
;)
;)
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¡Hola Omar!
Es una ecuación lineal de coeficientes constantes no homogénea. Para resolverla debemos calcular primero la solución general de la ecuación homogenea y luego sumarle una solución particular de la ecuación completa. Para calcular la solución particular de la completa de ninguna forma te recomiendo el método de variación de parámetros. Te lo digo por que lo he intentado por hacer algo disinto y lo he tenido que dejar a medias, demasiado complicado para escribirlo aquí.
$$\begin{align}&y''-5y'+3y=xe^{2x}\\&\\&\text{La ecuación característica es}\\&\\&k^2-5k+3=0\\&\\&k=\frac{5\pm \sqrt{25-12}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}\\&\\&\text{Y la solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{GH}=C_1e^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}x}+C_1e^{\frac{5-\sqrt{13}}{2}x}\\&\\&\text{Por el método de coeficientes indeterminados sabemos}\\&\text{que la solución particular de la completa será de la forma}\\&\\&y_{PC}=(ax+b)e^{2x}\\&luego\\&Y'_{PC}= ae^{2x}+2(ax+b)e^{2x}=(2ax+a+2b)e^{2x}\\&Y''_{PC}=2ae^{2x}+2(2ax+a+2b)e^{2x}=(4ax+4a+4b)e^{2x}\\&\\&\text{sustuyendo en la ecuación diferencial tenemos}\\&\\&(4ax+4a+4b)e^{2x}-5(2ax+a+2b)e^{2x}+3(ax+b)e^{2x}=xe^{2x}\\&\\&(-3ax-a-3b)e^{2x}=xe^{2x}\\&\\&-3ax-a-3b=x\\&\\&-3a=1\implies a=-\frac 13\\&\\&-a-3b=0\implies \frac 13-3b=0\implies \frac 13=3b\implies b= \frac 19\\&\\&\text{Luego la paricular de la completa es}\\&\\&y_{PC}=\left(-\frac 13x+\frac 19 \right)e^{2x}\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y=y_{GH}+y_{PC}\\&\\&y=C_1e^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}x}+C_1e^{\frac{5-\sqrt{13}}{2}x}+\left(-\frac 13x+\frac 19 \right)e^{2x}\\&\end{align}$$Y eso es todo, salu_dos.
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