Tengo esta ecuacion diferencial que no se como resolverla

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¡Hola Omar!

El método de coeficientes indeterminados sirve para algunas funciones, pero para 2e^x/(e^x-1) no sé nada de que sirva y habría que emplear el de variación de parámetros supongo. Ese es más complicado y no lo recuerdo, déjame un poco de tiempo. De todas formas resuelvo ya la parte de la ecuación general de la homogénea y dejo para después la de la solución particular de la completa.

$$\begin{align}&\text{La ecuación característica es}\\&\\&k^2-k=0\\&k(k-1)=0\\&k1=0\\&k_2=1\\&\\&\text{Y la solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{GH}=C_1e^0x+C_2e^x=C_1+C_2e^x\\&\\&\text{Ahora se consideran C1 y C2 como funciones de x}\\&\text{y pongamos la particular de la completa así:}\\&\\&Y_{PC}=C_1(x)+C_2(x)e^x\\&\\&\text{Y la teoría, la que tengo yo, dice que la solución}\\&\text{es la de este sistema}\\&C_1'y_1+C_2'y_2=0\\&C_1'y_1'+C_1'y_2'=f(x)\\&\\&\text{que para este ejercicio es}\\&y_1=1\qquad y_2=e^x\qquad f(x)=\frac{2e^x}{e^x-1}\\&\text{quedando estas dos ecuaciones}\\&\\&C_1'+C_2'e^x=0\\&C'_1·0+C_2'e^x=\frac{2e^x}{e^x-1}\implies C_2'e^x=\frac{2e^x}{e^x-1}\implies\\&C_2'=\frac{2}{e^x-1}\\&\\&\text{y ahora volvemos a la primera}\\&C_1'=-C_2'e^x=-\frac{2e^x}{e^x-1}\\&\\&\text{Y ahora debemos integrar estas dos funciones }\\&\\&C_1(x)=-2\int \frac{e^x}{e^x-1}dx=-2 \,ln(e^x-1)\\&\\&C_2(x)=2\int \frac{dx}{e^x-1}=2\int \frac{e^x-(e^x-1)}{e^x-1}dx=\\&\\&2\int \frac{e^x}{e^x-1}dx-2\int dx = 2\,ln(e^x-1)-2x\\&\\&\text{Luego la solución particular es}\\&\\&y_{PC}=C_1(x) +C_2e^x=-2 \,ln(e^x-1)+2[ln(e^x-1)-x]e^x\\&\\&\text{Y la solución general completa es}\\&\\&y= C_1+C_2e^x-2 \,ln(e^x-1)+2[ln(e^x-1)-x]e^x\\&\\&\text{que siquieres la puedes refundir así}\\&\\&y= C_1+2[ln(e^x-1)-x+C_2]e^x-2 \,ln(e^x-1)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Bueno, pues al final la resolví entera sin hacerlo en dos plazos.

Y eso es todo, saludos.

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