¿Cómo resolver este problema de Mínimos Matemáticos?

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¡Hola Stronge!

Al final habrá que mirar casos uno por uno, pero a ver si podemos eliminar unos cuantos antes

Veamos los factores primos que pueden tener P y Q, su MCM los tiene todos con el máximo exponente

336 = 2^4 · 3 · 7

Luego nos dicen que P-Q=36  = 2^2 · 3^2

Si ambos tuvieran el factor 7, P-Q sería múltiplo de 7, pero 36 no es múltiplo de 7, luego solo uno de los dos tiene el factor 7.

Y uno de los dos debe ser mayor de 36.

Si el mayor fuera el que no tiene el factor 7 no le quedaría más remedio que ser

2^4·3 = 48 y el otro tendría que ser 12, imposible porque no es múltiplo 7

Luego el mayor es que tiene el factor 7

P=7 · 2^n · 3^m

Q= 2^r · 3^s

Los valores posibles para P>= 36 son

1) P =7 · 2^3 = 56

Q = P-36 = 56-36 = 20 que no puede obtenerse con factores primos 2 y 3 

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2) P = 7·2^4 = 112

Q = 112-36 = 76 = 2^2·19  no puede obtenerse con factores primos 2 y 3

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3) P = 7·2·3 = 42

Q = 42-36 = 6 = 2·3 

Pero no vale porque uno de los dos tiene que tener 2^4

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4) P = 7 · 2^2 · 3 = 84

Q = 84-36 = 48 = 2^4 · 3

Perfecto, este sirve porque tiene el 2^4 en q y el 3 en P

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5) Seguimos por si hubiera varias soluciones

P = 7 · 2^3 · 3 = 168

Q = 132 = 2^2 · 3  · 11  No vale, tiene un factor primo 11 

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6) P = 7 · 2^4 · 3 = 336

Q= 336-36=300 = 3 · 2^2 · 5^2 No vale, tiene un factor primo 11

Luego la respuesta ha sido la del punto 4

P=84

Q=48

Luego lo que nos piden, que no pienso que sea A+B, sino P+Q es 132

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Comprobamos el MCM para asegurarnos

P = 84 = 2^2 · 3 · 7

Q = 48 = 2^4 · 3

MCM(P,Q) = 2^4 · 3 · 7 = 336

P-Q = 84-48 = 36

Luego cumple todo lo que decían.

Y eso es todo, salu_dos.

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¡Gracias! ...