El cilindro parabólico z=9-x^2 y los planos xy, xz y y=4, se divide uniformemente en 8 partes.en
Alguien que me pueda colaborar con este ejercicios muchas gracias .
El cilindro parabólico z=9-x^2 y los planos xy, xz y y=4, se divide uniformemente en 8 partes.
Encuentre el volumen de una de esas partes.
1 Respuesta
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¡Hola Jose!
Pongamos los planos con sus ecuaciones verdaderas
z=0
y=0
y=4
Para z tenemos el límite inferior z=0 y el superior z = 9-x^2 esto es parecido a una tienda de campaña infinitamente larga en el eje Y
Para y tenemos el límite inferior y=0 y el superior y=4
Nos faltan los límites para x, esos nos los dará la intersección de la tienda de campaña con el plano z=0
0 = 9 - x^2
x^2=9
x= -3 y 3
Luego son x-3, x=3
Por lo tanto el volumen es
$$\begin{align}&\int_{-3}^{3}\int_0^4\int_0^{9-x^2}dz\,dy\,dx=\\&\\&\int_{-3}^{3}\int_0^4(9-x^2)\; dy \,dx=\\&\\&\int_{-3}^3 (9-x^2)\int_0^4dy \;dx=\\&\\&\int_{-3}^3(9-x^2) · y\bigg|_0^4 dx=\\&\\&\int_{-3}^3(9-x^2)·4\;dx=\\&\\&4\left[9x-\frac{x^3}{3} \right]_{-3}^3=4\left(27-9+27-9 \right)=4·36=144\end{align}$$Y eso es todo, s a l u d o s.
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El enunciado dice la chorrada final de que eso se divide uniformemente en 8 partes, luego el volumen de cada una será
144/ 8 = 18 unidades cúbicas
