Ejercicio siguiente. Álgebra Lineal. Vectores

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¡Hola Angie!

Esto tiene varias demostraciones dependiendo de hasta dónde hayáis estudiado.

Si ya sabéis que todas las bases de un espacio de dimensión finita tienen los mismos elementos y que R2 tiene dimensión 2 basta con probar que esos dos vectores son linealmente independientes y entonces serán una base

Y lo de demostrar que son linealmente independientes también se puede demostrar de varias formas dependiendo de hasta donde hayáis estudiado. Si ya habéis dado matrices los pones uno encima de otro e intentas hacer ceros

1 1

-1 1

A la segunda fila le sumas la primera

1 1

0 2

Y ya no se pueden hacer más ceros y las dos filas tienen algún coeficiente no nulo, luego son independientes.

Y si hay que hacerlo por definición se toma un vector (a, b) cualquiera de R2 y lo intentamos poner como combinación lineal de (1,1) y (-1,1)

x(1,1) + y(-1,1) = (a,b)

x - y = a

x+y = b

sumamos las ecuaciones

2x = a+b

x =(a+b)/2

y=b-x = b-(a+b)/2 = (2b-a-b)/2 = (b-a)/2

Luego existen coeficientes x, y tales que

x(1,1) + y (-1,1) = (a,b)

Luego S genera R2.

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3)

La dimensión es el número de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto.

Los vectores (1,0) y (0,1) son los más linealmente independientes que conozco

a(1,0) + b(0,1) = (0,0)

a = 0

b = 0

luego son linealmente independientes, y por ser dos la dimensión es 2.

Y eso es todo,   s a  l u d o s!