Determine el volumen del solido acotado por el frente y por la parte posterior por los planos x=2 y x=1, a los lados por los cil
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determine el volumen del solido acotado por el frente y por la parte posterior por los planos x=2 y x=1, a los lados por los cilindros y=+-1/x , y por arriba y por abajo por los planosz=x+1 y z=0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Jesús!
Pues nos dan todos los extremos de integración, luego los aplicaremos.
Si acaso vamos a comprobar que no hay cortes.
x=1 y x=2 son rectas paralelas, no se cortan
y=-1/x y y=1/x no se cortan cuando x vale entre 1 y 2 uno es negativo y el otro positivo
z=0 y z=x+1 no se cortan cuando x vale entre 1 y 2, els segundo plano es siempre positivo para esos valores.
Luego no hay problemas la integral se hace toda de golpe y coincide con el volumen
$$\begin{align}&V=\int_1^2\int_{-\frac 1x}^{\frac 1x}\int_0^{x+1}dz\,dy\,dx=\\&\\&\int_1^2\int_{-\frac 1x}^{\frac 1x}(x+1-0)dy\,dx =\\&\\&\int_1^2(x-1)\int _{-\frac 1x}^{\frac 1x}dy\,dx=\\&\\&\int_1^2(x-1)·y\bigg|_{-\frac 1x}^{\frac 1x}dx=\\&\\&\int_1^2(x-1)\left(\frac{1}{x}+\frac 1x\right)dx=\\&\\&\int_1^2(x+1)·\frac 2xdx=\\&\\&2 \int_1^2\left(1+\frac 1x\right)dx=\\&\\&2\bigg[x+ln |x| \bigg]_1^2=\\&\\&2\left(2+ln\,2-1-ln\,1 \right)= 2+2\,ln\,2=2 + ln\,4\end{align}$$:
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