Calcular el valor promedio y valor medio de los siguientes ejercicios

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¡Hola Luphita!

Son fáciles pero hay que mandar un solo ejercicio por pregunta. Yo voy a contestar el primero. Si quieres los otros mándalos en sendas preguntas nuevas.

El valor medio de una integral se calcula así

$$\begin{align}&\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\\&\\&\mu=\frac 1{1-(-2)}\int_{-2}^1(x^2+1)dx=\\&\\&\frac{1}{1+2}\left[\frac{x^3}{3}+x \right]_{-2}^1=\\&\\&\frac 13\left(\frac 13+1+\frac{8}{3}+2  \right)=\\&\\&\frac 13·6=2\\&\\&\text{El enunciado no está completo, creo que quieres}\\&\text{decir comprobar que existe c en (a,b) que toma}\\&\text{el valor medio, }f(c) =\mu\\&\\&\text{El teorema dice que si f continua en [a,b] y derivable}\\&\text{en (a,b) existe ese c, cosas que esta función cumple}\\&\\&c^2+1=2\\&c^2=1\\&c=\pm1\\&\\&c=-1\text { es el que cumple ya que está en el interior}\\&\\&-1\in(-2,1)\end{align}$$

Y eso es todo.

S a l u d o s.

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;)
Hola lupiithaa!

2.-

$$\begin{align}&\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)\\&\\&\int_{-1}^1(2x^2+3x)dx= \frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \Bigg|_{-1}^1=\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-(\frac{-2}{3}+\frac{3}{2})=\frac{4}{3}\\&\\&\\&\frac{4}{3}=f(c)[1-(-1)]\\&\\&\frac{4}{3}=2 f(c)\\&\\&f(c)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\&\\&\\&\frac{2}{3}=2x^2+3x\\&2=6x^2+9x\\&6x^2+9x-2=0\\&\\&x=\frac{-9 \pm \sqrt{81+48}}{12}=\\&\\&\frac{-9+\sqrt{129}}{12}=0.196484·····\\&\end{align}$$

de las dos soluciones , vale la que está en [-1,1]

Saludos

;)

;)