Como Hallar el área de la parte del plano limitado?
Hallar el área de la parte del plano limitado por la curva de f(x)=ln x , el eje OX y las dos rectas D= x=1/2 y D= x=e
;)
Hola Sia!
La función y=lnx corta el eje x en x=1
Luego se ha de hacer en dos partes:
$$\begin{align}&A_1=\Bigg|\int_{\frac{1}{2}}^1lnxdx\Bigg|=\Big| xlnx-x \Bigg|_{\frac{1}{2}}^1= |1ln1-1-(\frac{1}{2}ln \frac{1}{2}-\frac{1}{2}|=\\&| \frac{-1}{2}(ln \frac{1}{2}+1)|= \frac{1}{2}(ln \frac{1}{2}+1)\\&\\&A_2= \int_1^elnxdx=xlnx-x \Bigg|_1^e=elne-e-(ln1-1)=1\\&\\&A_T=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}ln \frac{1}{2}\end{align}$$La integral del ln se hace por partes
Saludos
;)
;)
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La integral:
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1 respuesta más de otro experto
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¡Hola Sia!
Debemos ver si la fnción está siempre por encima o por debajo del eje X en el intervalo de integración.
lnx en [1/2, e]
Pues no, en x=1 el logaritmo es 0, antes la función es negativa y después positiva, por lo que deberemos calcular las áreas en los dos intervalos y después sumarlas.
Puesto que las dos integrales van a ser la misma hacemos primero la indefinida y después ya haremos las evaluaciones necesarias.
$$\begin{align}&I(x)=\int ln\,x\;dx=\\&\\&u =ln\, x\qquad du =\frac{dx}{x}\\&dv=dx\qquad v=x\\&\\&=xlnx-\int dx\\&\\&I(x)=x\,ln\,x-x=x(lnx-1)\\&\\&A=|I(1)-I(1/2)|+|I(e)-I(1)|=\\&\\&\left|1(0-1)-\frac 12\left(ln \frac 12\;-1\right)\right|+\left|e(1-1)- 1(0-1) \right|=\\&\\&\left|-1+ \frac 12-\frac 12ln \frac 12\right|+1=\frac 12+\frac 12 ln \frac 12+1= \frac {3-ln2}2\\&\\&\end{align}$$Esta está bien, aquí la comprobación
Y eso es todo, s a l u d o s.
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