Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas

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¡Hola Luis!

Veamos si se cortan en algún punto intermedio para hacer varias integrales o solo una

x = 2- x^2

x^2+x-2= 0

$$\begin{align}&x= \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}=-2\; y \;1\end{align}$$

Pues si, la solución x=1 cortaal intervalo de integración [-1, 2]  luego habra que hacer dos integrales y sumar los valores absolutos de estas, mucho ojo, sumar los valores absolutos de lo que salga en cada una.

$$\begin{align}&I(x)=\int_{-1}^1 (x^2+x-2)dx = \left[\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}{2}-2x\right]_{-1}^1=\\&\\&\frac 13+\frac 12-2+\frac 13-\frac 12-2=\frac 23-4=-\frac {10}3\\&\\&\text{Pero hay que tomar el valor absoluto } \frac {10}3\\&\\&\text{Y evaluamos la integral entre 1 y 2 con la función obtenida}\\&\\& \left[\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}{2}-2x\right]_1^2=\frac 83+2-4-\frac 13-\frac 12+2=\\&\\&\frac 73-\frac 12= \frac{14-3}{6}= \frac{11}{6}\\&\\&\text{Y sumamos las dos áreas}\\&\\&A=\frac{10}{3}+\frac {11}6=\frac{20+11}{6}=\frac{31}6\end{align}$$

Y eso es todo,  Sa lu dos.

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