Sobre estadística función de probabilidad y distribución
Después que los estudiantes salen del salón de clase, el profesor encuentra cuatro libros en diferentes pupitres. Al comenzar la siguiente clase, el profesor distribuye al azar los libros a cada uno de los 4 estudiantes que dicen haber olvidado un libro. Sea X el número de estudiantes que reciben su propio libro.
a. Hallar la función de probabilidad de X
b. Hallar la función de Distribución de X
c. ¿Cuál es la probabilidad de que profesor acierte en mas de 2?
d. Halle la media, Mediana, moda y la varianza de X e interprételas.
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¡Hola Laarline!
a) La variable aleatoria puede tomar los valores 0,1,2,3,4
P(0)
El primer estudiante recibe uno que no es el suyo eso tiene probabilidad 3/4. Entre los otros tres estudiantes hay 2 libros de ellos (b y c) y el del primero (a)
Siendo B, C, D los estudiantes y los libros repartidos con ese orden los casos validos son
Abc
cab
Cba
Luego son la mitad de los 6 casos posibles
P(0) = 3/4 · 1/2 = 3/8
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P(1)
Puede ser uno cualquiera de los cuatro el que recibe su libro, supongamos que el estudiante A, entonces entre los otros tres todos deben tener un libro que no es el suyo, los casos posibles son
Bca
cab
Luego son 2 casos
4·2=8
los casos totales son 24
P(1)= 8/24 = 1/3
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P(2)
Las combinaciones de 2 estudiantes que reciben los suyos son C(4,2)=4·3/2 = 6 y los otros dos solo pueden recibirlos intercambiados.
P(2) = 6/24 = 1/4
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P(3)
Es nula, si tres reciben su libro también lo recibe el cuarto
P(3)=0
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P(4)=1/24
solo una de las 24 permutaciones tiene todos los libros en su sitio.
Revisemos si está bien
P(0) = 3/8 = 9/24
P(1) = 1/3 = 8/24
P(2) = 1/4 = 6/24
P(3) = 0
P(4) = 1/24
Y efectivamente, si las sumamos da (9+8+6+1)/24= 24/24 = 1
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b) La función de distribución se obtiene sumando a la función anterior la probabilidad del punto donde la calculamos
F(0) = 9/24
F(1) = 9/24+8/24 = 17/24
F(2) = 17/24+6/24 = 23/24
F(3) = 23/24 + 0 = 23/24
F(4) = 23/24+1724 = 24/24 = 1
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c) Acertar en más de 2 será:
Eso es acertar 3 o 4
P(3)+P(4) = 0 + 1/24 = 1/24
Más complicado podriás haberlo hecho planteando la probabilidad como
1- P(menor o igual a 2) = 1 - F(2) = 1-23/24 = 1/24
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d)
La media es:
0·9/24 + 1·8/24 + 2·6/24 + 3·0 + 4·1/24 =
0 + 8/24 + 12/24 + 4/24 = 24/24 = 1
La mediana es el valor central pero hay que dar a cada valor la representatividad que tiene, entonces tomariamos 9 ceros, 8 unos, 6 doses y un cuatro. Y el lugar 12 y 13 corresponde al 1. Luego la mediana es 1.
La moda es 0 porque tiene el que más probabilidad.
La varianza tiene una fórmula que espero la conozcas:
$$\begin{align}&V=\sum_{i=0}^4p_i·(X_i-\mu)^2\end{align}$$V= (9/24)(0-1)^2 + (8/24)·(1-1)^2 + (6/24)(2-1)^2 + (1/24)(4-1)^2 =
9/24 + 0 + 6/24 +9/24 = 24/24= 1
La interpretación es la que tienen laa medidas estas.
La media es contabilizar todos los casos posibles, sumarlos y dividir por el número de casos posibles. El promedio de aciertos será de un libro.
La mediana es el numero de libros que se acertarán cuando haya tantos casos mejores como peores que ese.
La moda es el que más veces saldrá entre los casos posibles
La varianza indica cuánto se alejan de la media los aciertos, es una cuenta que es la que es y ha dado 1.
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Y eso es todo, s a l u d o s.
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