Ecuación de una Elipse horizontal
Demostrar que: 4x^2 + 9y^2 + 24x + 36y + 36 = 0 es la ecuación de una elipse y determine:
a. Centro
B Focos
c. Vértices
Agradezco su amable ayuda Maestros! Como siempre no requiero una solución, más bien una explicación que me ayude a solucionar el problema por mi cuenta.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Willian!
Transformar la ecuación general en la canónica (u ordinaria que también he visto que la llaman, nos da información sobre el centro, la longitud de los semiejes y la orientación, con eso se puede calcular todo.
Y para calcular la ecuación canónica debemos completar cuadrados, que es sustituir los términos en x^2, x y los términos en y^2, y por binomios cuadrados del tipo (x-h)^2, (y-k)^2 menos h^2, k^2
$$\begin{align}&\text{Ecuación canónica horizontal}\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{Ecuación canónica vertical}\\&\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1\\&\\&\text{con (h,k) el centro}\\&\text{a semieje mayor}\\&\text{b semieje menor}\\&a\gt b\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&4x^2+24x+9y^2+36y + 36=0\\&\\&\text{Voy a dar pasos que lo mejor no necesitas}\\&\text{pero te lo harán más fácil}\\&\\&4(x^2+6x) + 9(y^2+4y) + 36 = 0\\&\\&4\bigg((x+3)^2-9\bigg)+9\bigg((y+2)^2-4\bigg)+36=0\\&\\&4(x+3)^2-36+9(y+2)^2-36 + 36=0\\&\\&4(x+3)^2+9(y+2)^2-36=0\\&\\&4(x+3)^2+9(y+2)^2=36\\&\\&\frac{4(x+3)^2}{36}+ \frac{9(y+2)^2}{36}=1\\&\\&\frac{(x+3)^2}{9}+ \frac{(y+2)^2}{4}=1\\&\\&\frac{(x+3)^2}{3^2}+ \frac{(y+2)^2}{2^2}=1\\&\\&\text{Esa es la ecuación canónica de donde}\\&\\&\text{Centro = (h,k)=}(-3,-2)\\&\\&\text{Es horizontal porque el divisor de x es mayor}\\&\text{que el de y, por eso el semieje mayor, que es}\\&\text{el que tiene los focos es paralelo al eje X}\\&\\&\text{Siendo c la semidistancia focal se cumple}\\&a^2=b^2+c^2\\&\\&c=\sqrt{a^2-b^2}= \sqrt{9-4}= \sqrt 5\\&\\&\text{Los focos se obtienen sumando al centro la}\\&\text{semidistancia focal en la coordenada adecuada}\\&\\&F_1=(-3,-2)-(\sqrt 5,0)=(-3-\sqrt 5, -2)\\&F_2=(-3,-2)+(\sqrt 5, 0)= (-3+\sqrt 5, -2)\\&\\&\text{Los vértices izquierdo y derecho restando}\\&\text{y sumando el vector semieje paralelo a X}\\&V_1=(-3,-2)-(3,0)=(-6,-2)\\&V_2=(-3,2)+(3,0)=(0,-2)\\&\\&\text{Y no sé si calculáis también los que no están}\\&\text{en el eje, en este caso inferior y superior}\\&V_3=(-3,-2)-(0,2)=(-3,-4)\\&V_4=(-3,-2)+(0,2)=(-3,0)\\&\end{align}$$Y eso es todo, s a l u d o s.
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