Volumen de un solido, integrales.
La base de un sólido es un disco circular de radio 3. Calcule el volumen del sólido si las secciones transversales
perpendiculares a la base son triángulos rectángulos isósceles, cuya hipotenusa se encuentra sobre la base del sólido.
Mi principal problema es la hipotenusa... No se como calcularla con la información que me dan! Ayuda!
1 Respuesta
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¡Hola Angela!
Tu tomas el círculo y le vas colocando triángulos isósceles encima, luego la hipotenusa en cada punto es la cuerda que va de una parte a otra del círculo. Cuando sea la hipotenusa que coincide con el diámentro será el triángulo más grande, pero cuando te vayas alejando a las esquinas cada vez será más pequeña.
La figura presenta simetría izquierda derecha que hace que con calcular la mitad sea suficiente. Tomaremos como elementos diferenciales esos triángulos con anchura dx.
$$\begin{align}&V=2\int_0^3A(x)dx\\&\\&\text{donde A(x) es el áres de cada triangulo}\\&\\&\text{La ecuación de la circunferencia es}\\&\\&x^2+y^2=3^2\\&\\&y=\pm \sqrt{9-x^3}\\&\\&\text{luego en un punto x la hipotenusa mide}\\&\\&h=\sqrt{9-x^2}-(-\sqrt{9-x^2})=2 \sqrt{9-x^2}\\&\\&\text{Los dos catetos iguales hacen que}\\&\\&c^2+c^2=h^2\\&2c^2=4(9-x^2)\\&c^2=2(9-x^2)\\&c= \sqrt{2(9-x^2)}\\&\\&\text{Los catetos son base y altura, luego al área es}\\&\\&A(x)=\frac{c·c}{2}=\frac{c^2}{2}=\frac{2(9-x^2)}{2}=9-x^2\\&\\&\text{Y el volumen es}\\&\\&V=2\int_0^3(9-x^2)dx=2\left[ 9x-\frac {x^3}3 \right]_0^3=\\&\\&2\left(27-9\right)=2·18=36\end{align}$$Ah, si no te parece bien lo de la simetria, calcula la integral entre -3 y 3 pero sin multiplicar por 2.
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias! Como siempre me ayudaste bastante.. tenia algo de preocupación de no entender bien a que se referían con la hipotenusa sobre el eje... pero ha quedado aclarado...
de nuevo Mil gracias
