5. Resolver por series la ecuación diferencial 𝑦′′+𝑥2𝑦=0

·

·

¡Hola Luk Dary!

Supongo que quieres decir

y'' + x^2·y = 0

Tomemos una serie de potencias como solución:

$$\begin{align}&y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n·x^n\\&\\&\text{Para introducirla en la ecuación calculamos}\\&\text{las derivada segunda}\\&\\&y'=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\\&\\&y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\&\\&\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0\\&\\&\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\\&\\&\text{El primer sumatorio arranca con }x^0, \text{el segundo con }x^2\\&\\&\text{Sacamos fuera }x^0 y\; x^1\\&\\&2·1·a_0x^0+3·2·a_1x^1+\sum_{n=4}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\\&\\&2a_0+6a_1x+\sum_{n=4}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\\&\\&\text{Ahora hay que hacer un cambio de variable en cada sumatorio}\\&\text{En el primero } k=n-2\implies n=k+2\\&\\&2a_0+6a_1x+\sum_{k=2}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\\&\\&\text{En el segundo }k=n+2\implies n=k-2\\&\\&2a_0+6a_1x+\sum_{k=2}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{(k+2)}x^{k}+\sum_{k=2}^{\infty}a_{(k-2)}x^{k}=0\\&\\&\text{Y ahora se puede hacer uno de los dos sumatorios}\\&\\&2a_0+6a_1x+\sum_{k=2}^{\infty}[(k+2)(k+1)a_{(k+2)}+a_{(k-2)}]x^{k}=0\\&\\&\text{Todos los coeficientes deben ser 0, luego}\\&a_0=0\\&6a_1=0\implies a_1=0\\&\\&(k+2)(k+1)a_{(k+2)}+a_{(k-2)}=0\quad \forall \;k\ge2\\&\\&\text{Despejo }a_{(k+2)} \text{ por ser el de mayor subíndice}\\&\\&a_{(k+2)}=-\frac{a_{(k-2)}}{(k+2)(k+1)}\\&\\&Para\; k=2\\&a_4=-\frac{a_0}{4·3}=0\\&\\&Para\;k=3\\&a_5=-\frac{a_1}{5·4}=0\\&\\&Para\;k=4\\&\\&a_6=-\frac{a_2}{30}\\&\\&Para\;k=5\\&a_7=-\frac{a_3}{42}\\&\\&Para\;k=6\\&a_8=-\frac{a_4}{56}=0\\&\\&\text{Cada 4 se repite el ciclo}\\&\\&y=-\frac{a_2}{6·5}x^4-\frac{a_3}{7·6}x^5+\frac{a_2}{10·9·6·5}x^8+\frac{a_3}{11·10·7·6}x^9-\frac{a_2}{14·13·10·9·6·5}x^{12}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y ya vale, no veo que se pueda encontraar una expresión general para los coeficientes luego hay que conformarse con unos cuantos términos de la serie de potencias.

Sa_lu_dos.