Ejercicio de ecuación diferencial, hallar yp
Tengo una duda sobre este ejercicio:
y'''+y=2x-5+e^(-x)sen(x)
Ya hallé la ecuación que es esta:
Yc=c1e^(-x)+e^(x/2)(c2cos(sqrt(3)x/2)+c3sen(sqrt(3)x/2))
Sim embargo, no estoy segura de cómo hallar Yp.
1 Respuesta
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¡Hola Mila!
Hay que usar el método de los coeficientes indeterminados. Se prueba con una determinada función con coeficientes no fijos. Se calculan las derivadas que se necesiten de esa función y sustituimos los datos en la ecuación diferencial. Para que se cumpla la ecuación los coeficientes deberán tomar unos valores concretos y entonces la función ya queda definida.
Las reglas para seleccionar la función de prueba son estas.
Lo que más fastidia es cuando la multiplicidad de r es distinta de 0, pero hay que aplicarlo. Para usar la misma notación de los apuntes es:
h(x) = 2x-5+e^(-x)sen(x)
Tendremos que probar con un polinomio de grado 1 mas una exponencial por trigonométrica
El polinomio es Ax+B sin más problemas porque 0 no es raíz de la ecuación característica que es P(k) = k^3+k=0
La exponencial por trigonométrica es
e^(-x)·(C·cosx + D·senx)
tampoco hay problemas porque -1+i no es raíz de P(k) = k^3+k=0
Luego la función con la que debes probar es
yp(x) = Ax + B + e^(-x)·(C·cosx + D·senx)
¿Sabrías continuarlo? Si no dímelo.
Sa lu dos.
Por si acaso te pongo como quedarán los datos derivados y sustituidos en la ecuación diferencial.
$$\begin{align}&De^{-x}(3sen\,x+2 \cos x)+Ce^{-x}(3 \cos x-2 sen\,x)+B+Ax=2x-5+e^{-x}sen \,x\end{align}$$Y a partir de ahí se calculan A,B,C y D
