Ejercicios de algebra lineal, sistema de ecuaciones lineales
Considere el sistema
2. Considere el sistema
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 𝑎
3𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 = 𝑏
−5𝑥1 − 5𝑥2 + 21𝑥3 = 𝑐
Muestre que si 𝑐 ≠ 2𝑎 − 3𝑏 el sistema es inconsistente.
1 Respuesta
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¡Hola Rocio!
Un sistema es incompatible o incosistente como dicen aquí cuando no tiene soluciones. Y un sistema manifiesta que no tiene soluciones cuando tras hacer las pertinentes operaciones de fila se llega a que una fila tiene todo ceros en la matriz de coeficientes pero el resultado es distinto de cero, es decir, que queda
0x+0y+0z = k con k distinto de 0
Lo cual es obviamente imposible.
Entonces en el enunciado te dicen las operaciones que debes hacer. El signo <> significa distinto de
c <> 2a-3b ==>
c - 2a + 3b <> 0
Y para obtener eso debemos restar dos veces la primera y sumar tres veces la segunda a la tercera.
-5x1 - 5x2 + 21x3 - 2(2x1 - x2 - 5x3) + 3(3x1 + x2 - 5x3) = c-2a+3b
-5x1 - 5x2 + 21x3 - 4x1 + 2x2 +10x3 + 9x1 + 3x2 -15x3 = c-2a+3b
0x1 + 0x2 + 0x3 = c-2a+3b
0 = c-2a + 3b
c = 2a - 3b
Luego si lo que sucede es
c <> 2a - 3b
Es un absurdo y el sistema es incosistente.
Y eso es todo, saludos.
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c -2a + 3b <> 0
Este mismo ejercicio como seria al implementar método Gauss Jordan o Cramer
Considere el sistema
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 𝑎
3𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 = 𝑏
−5𝑥1 − 5𝑥2 + 21𝑥3 = 𝑐
Muestre que si𝑐 ≠ 2𝑎 − 3𝑏 el sistema es inconsistente.
Pero Gauss-Jordan no es necesario para contestar la pregunta. Es un método para resolver las ecuaciones y además no suele usarse, se corta y se deja en método de Gauss que es cuando se han hecho ceros solo por debajo de la diagonal. Y el de Cramer tampoco te dice si el sistema es copnsistente o no, ya que por que aunque el deteminante sea 0 no sabes si es compatible o no.
La solución es como lo he hecho yo, si acaso si quieres hacerlo como matriz escribes la matriz con coeficientes y resultados y a la ultima fila le sumas la primera multiplicada por (-2) y luego le sumas la segunda multiplicada por 3 y te quedará
2 -1 3 |a
3 1 -5 |b
0 0 0 | c-2a+3b
Y para que sea consistente debe ser
c-2a+3b = 0
c = 2a-3b
Por lo tanto si c <> 2a-3b es incosistente.
