Volumen de sección conocida entre dos curvas
Pues tengo el siguiente problema:
La base de un solido es la región R limitada por
$$\begin{align}&y=\sqrt{x}\end{align}$$y
$$\begin{align}&y=x^2\end{align}$$Toda seccion transversal perpendicular al eje x es un semicirculo cuyo diametro se extiende a lo largo de R. Encuentre el volumen del solido.
En si mi duda va a como calcular el diámetro, pensé que sería simple restando f(x)-g(x), pero como este se extinde a lo largo de R ahí me patine...
Ayuda please!
1 respuesta
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¡Hola Ángela, este es muy parecido al que te hice donde las secciones transversales eran cuadrados. Aquí son círculos y debes integra el área de ellos a lo largo del eje X. Para saber el área de un semicírculo calculas su radio y usas la fórmula
A=(pi·r^2)/2
Ya que es un semicírculo.
Y el radio es la mitad del diámetro, que es la diferencia de funciones.
Esas funciones son muy sencillas, tienes que llevarlas en la cabeza, además son inversas y por lo tanto simétricas respecto a la diagonal y=x
Y los punto de corte están bien claros son x=0 y x=1
Entre 0 y 1 es la raíz la que está por encima.
$$\begin{align}&V=\int_0^1\pi\left(\frac{\sqrt x - x^2}{2} \right)^2dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\int_0^1(x+x^4-2x^2 \sqrt x)dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\int_0^1(x+x^4-2x^{\frac 52})dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\left[ \frac{x^2}{2}+\frac{x^5}{5}-2·\frac{x^{\frac 72}}{\frac 72} \right]_0^1=\\&\\&\frac{\pi}{4}\left(\frac 12+\frac 15-\frac 47 \right)=\frac \pi 4·\frac{35+14-40}{70}=\frac{9\pi}{280}\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Como siempre muchas gracias por ayudarme, solo una duda pequeña, el que dijera que el diámetro se extiende a lo largo de R me hizo pensar que va del origen a la intersección de las curvas y entonces pensé que no aplica a la diferencia de funciones para calcular el diámetro... Erre mucho? Que quiere decir esto??
Gracias y perdón por la molestia!
Otra duda... La diferencia de funciones es entre 2 y y el semicírculo es entre 2... falta un "entre 2" en la ecuación del área no? o yo estoy omitiendo algo?
Veo que tienes algo de lio.
Las dos funciones estas determinan una región entre x=0 y x=1 que es donde se cortan, los puntos de corte son (0,0) y (1,1)
Las secciones transversales perpendiculares al eje X cortan al plano de la base en una recta vertical del tipo x=k, y el segmento entre donde cortan a y=sqrt(x) y y=x^2 es el diámetro de un semicírculo que se expande hacia arriba como una cúpula, esta cúpula es más alta o menos dependiendo de ese diámetro. Integrando el área de todos esos semicírculos entre 0 y 1 se obtiene el volumen.
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¡Gracias! La verdad si!
Estaba bastante confundida! Este tema me tomo algo de trabajo, llevo una semana tratándolo de entender! Y creo que por fin lo logre!
Muchísimas gracias!
