En las siguientes ecuaciones de la parábola

;)
Hola Diego Burbano!

La parábola es tipo x^2=4py, luego es vertical

Completando cuadrados:

$$\begin{align}&3x^2-12x-8y-4=0\\&\\&Agrupando \ Términos:\\&(3x^2-12x)-8y-4=0\\&completando \ cuadradados (compensando \ el \ término \ independiente):\\&\\&3(x^2-4x)=8y+4\\&3(x-2)^2-12=8y+4\\&\\&3(x-2)^2=8y+16\\&3(x-2)^2=8(y+2)\\&(x-h)^2=4p(y-k)\\&\\&(x-2)^2=4·\frac{2}{3}(y+2)\\&p=\frac{2}{3}\\&\\&Vértice=(h,k)=(2,-2)\\&Eje \ simetría:  \ x=2\\&F=(h,p-k)=(2,\frac{2}{3}-2)=(2,\frac{-4}{3})\\&\\&directriz:  y=-p-k=-\frac{2}{3}-2=- \frac{8}{3}\\&y=- \frac{8}{3}\end{align}$$

·

·

¡Hola Diego!

Encotrarás tantos escritos donde la ecuación canónica de la parábola tiene 4p como 2p, yo soy de los de 2p

Es una parábola cuyo término con cuadrado es la x, luego su ecuación canónica es

(x-h)^2 = 2p(y-k)

Vamos a ponerla de esa forma completando cuadrados.

$$\begin{align}&3x^2−12x−8y−4=0\\&\\&3(x^2-4x) = 8y+4\\&\\&3\bigg((x-2)^2-4\bigg)=8y+4\\&\\&(x-2)^2-4 =\frac 83 y+\frac 43\\&\\&(x-2)^2 = \frac{8}{3}y +\frac{16}3\\&\\&(x-2)^2= 2·\frac 43(y+2)\\&\\&p=\frac 43\\&\\&\text{Ojo, esta p es la distancia focal,}\\&\text{distancia directriz foco.  Y para que el signo}\\&\text{coincida con el de p se debe calcular como}\\&p=F_x-directriz\\&\\&\text{Vamos con las cuentas}\\&\\&Vertice=(2,-2)\\&\\&\text{El foco está a distancia p/2 del vértice}\\&\\&F=\left(2,-2+\frac{2}{3}  \right)=\left(  2,\frac{}{}-\frac 43\right)\\&\\&\text{Es una parábola vertical, el eje de simetría}\\&\text{es la vertical que pasa por el vértice}\\& x=2\\&\\&\text{La directriz es la recta horizontal situada a -p/2 del vértice}\\&\\&y=-2-\frac 23\\&\\&y= -\frac 83\end{align}$$

Y eso es todo,  s a l u d o s.

:

: