Utilizar una integral doble para calcular el área de la región limitada por las curvas

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¡Hola M.José!

Primero debemos calcular los extremos de integración, para ello calculamos la intersección de las curvas. Si ves la ecuación ya ves que son una parábola hacia arriba y otra hacia abajo, luego la región estára comprendida entre los dos puntos donde se cortan

x^2= 8 - x^2

2x^2 = 8

x^2 = 4

x=+- 2

Luego los extremos en en x son -2 y 2

Y en y son las dos funciones, para hacerlo que quede bien podemos calcular cuál es la función de abajo y la de arriba.

En x=0

la primera función es  y=x^2= 0^2 = 0

la segunda es y 8-x^2 = 8-0^2 = 8-0 = 8

Luego la segunda es la superior y la pondremos como extremo superior.

$$\begin{align}&A=\int_{-2}^2\int_{x^2}^{8-x^2}dy\,dx=\\&\\&\int_{-2}^2 y\bigg|_{x^2}^{8-x^2}dx=\int_{-2}^2(8-x^2-x^2)dx=\\&\\&\int_{-2}^2(8-2x^2)dx=\left[8x-\frac{2}{3}x^3  \right]_{-2}^{2}=\\&\\&16-\frac {16}3+16-\frac {16}3=32-\frac {32}3=\frac{96-32}{3}=\frac{64}{3}\end{align}$$

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