Calcular el límite radial en el origen de la siguiente función:

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Hola Maar Hammett!

$$\begin{align}&z=\frac{e^x-1}{e^{mx}-1}\\&\\&\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{e^{mx}-1}=\frac{e^0-1}{e^0-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&\\&\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{me^{mx}}=\frac{1}{m}\end{align}$$

Como el límite radial depende de m, y el límite si existe es único, concluiríamos que no existe el límite en el origen de esa función

Saludos

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¡Hola Maar!

Suele suceder que estos límites te los pongan antes de dar la regla de l'Hôpital.

El limite radial en el origen será

$$\begin{align}&\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{e^{mx}-1}=\\&\\&\text{Por la igualdad coclotómica}\\&a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1})\\&tenemos\\&\\&=\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{(e^x-1)(e^{(n-1)x}+e^{(n-2)x}+e^{(n-3)x}+....+ 1)}=\\&\\&=\lim_{x\to0} \frac{1}{e^{(m-1)x}+e^{(m-2)x}+e^{(m-3)x}+....+ 1}=\\&\\&\text{Son m sumandos, ya que el último es }e^{0x}\\&\\&\frac{1}{e^0+e^0+ ... + e^0}=\frac 1{1+1+1+...1}= \frac 1m\end{align}$$

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