Calcular m para encontrar el area entre dos curvas.

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Hola Peri!

Punto de corte de la recta y la parábola:

$$\begin{align}&y=mx\\&y=x^2\\&mx=x^2\\&0=x^2-mx\\&x(x-m)=0\\&x_1=0\\&x_2=m\\&\\&area= \frac{4}{3}= \int_0^m (mx-x^2)dx= m \frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3} \Bigg |_0^m=\frac{m^3}{2}-\frac{m^3}{3}\\&\\&\frac{4}{3}=\frac{m^3}{6}\\&\\&m^3=8\\&\\&m=2\end{align}$$

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Es fácil ver que ambas funciones pasan por el origen y que en ese intervalo la función f(x) es mayor que g(x), además como m es positivo, el área delimitada será entre 0 y "r", donde "r" es el valor donde f(x) = g(x). Planteemos lo que tenemos

$$\begin{align}&\text{Primero veamos el valor de "r"}\\&f(x) = g(x)\\&mx = x^2 \to 0 = x^2-mx \to 0 = x(x-m)\\&Soluciones:x=0 \land x=m\\&R = \frac{4}{3} = \int_{0}^{m} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{m} (mx - x^2) dx = \\&m \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\bigg|_0^m=\frac{m^3}{2}-\frac{m^3}{3}=\frac{m^3}{6}\\&\frac{4}{3}=\frac{m^3}{6}\\&m^3=8 \to m=2\\&\therefore f(x) = 2x\\&Volumen\ del \ sólido\\&V = \pi \int_0^2[(f(x)-(-1))^2-(g(x)-(-1))^2] dx=\\& \pi \int_0^2[(2x+1)^2-(x^2+1)^2] dx=\\& \pi \int_0^2[4x^2+4x+1-(x^4+2x^2+1)] dx=\\& \pi \int_0^2[4x^2+4x+1-x^4-2x^2-1] dx=\\& \pi \int_0^2[-x^4 + 2x^2+4x] dx=\\&\pi\bigg(-\frac{x^5}{5}+2 \frac{x^3}{3}+ 2x^2\bigg|_0^2 \bigg)=\\&\pi\bigg(-\frac{2^5}{5}+2 \frac{2^3}{3}+ 2 \cdot2^2 \bigg)=\\&\pi\bigg(-\frac{32}{5}+ \frac{16}{3}+ 8 \bigg)= \frac{38}{5} \pi\end{align}$$