Demostrar que 2x-y-2z+4=0 es una ecuación del plano
Sea A(1,4,1); B(-1,0,1) y C(5,8,3)
a) Calcular vector AB AC
b) El área del triángulo (ABC)
c) La superficie del paralelogramo firmado por vector AB y AC.
d) La distancia que separa el punto C de la recta (AB)
e) Demostrar que 2x-y-2z+4=0 es una ecuación del plano P=(ABC)
2 respuestas
;)
Hola Sia!
a)
$$\begin{align}&\vec{AB}=B-A=(-2,-4,0)\\&\vec{AC}=C-A=(4,4,2)\\&\\&b)\\&AreaTriangle=|\vec{AB} \times\vec{AC}|\end{align}$$ABxAC= determinante
|i j k|
|2 4 0| =8 i - 4 j + 0 k=(8,-4,0|4 8 2|
$$\begin{align}&A=\frac{1}{2} \sqrt{8^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt {80}=4 \sqrt 5 \ \ u^2\\&\\&c)\\&Area_paralelogram=2Atriangle=8 \sqrt 5 u^2\\&\\&d)\end{align}$$d) esa distancia es la altura del paralelogramo:
$$\begin{align}&h=\frac{area}{base}=\frac{ \sqrt{80}}{|\vec{AB}|}=\frac{ \sqrt{80}}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{20}}=\sqrt{\frac{80}{20}}=2 \ \ u\\&\\&\\&\end{align}$$e)
planoABC:determinante con un punto y dos vectoes del plano
|x-1 2 4|
|y-4 4 8| =0
|z-1 0 2|
8x-8+16z-16-(16z-16+4y-16)=0
8x-4y+16=0
2x-y+4=0
Bueno, creo que esta vez solo se ha equivocado en el plano final
Saludos
;) ;) ;)
;)
Gracias! Podría comprobar mi respuesta en este ejercicio que le continua? http://www.todoexpertos.com/preguntas/6vrxoadvi9fr94j4/como-comprobar-que-s-en-una-esfera?selectedanswerid=6vs3nvq9s8bt4a7v&utm_source=twitter&utm_medium=share_twitter_button&utm_campaign=usershare&shareid=08b8acfb9201c3c2
En la respuesta b en j no debería de ser 4 en vez de 8?
;)
Si tienes razón,
;)
;)
Asi queda:
$$\begin{align}&b)\\&\vec{AB}\times\ \vec{AC}=(8,-4,-8)\\&\\&\\&areaTriangle= \frac{1}{2} \sqrt{8^2+4^2+8^2}=6\\&\\&c)\\&Aparalel=12\\&d)\\&dist=h=\frac{Aparalel}{|\vec{AB}|}=\frac{12}{\sqrt{20}}\\&\\&\end{align}$$e)
|x-1 2 4|
|y-4 4 4|=0
|z-1 0 2|
8x-8+8z-8-(16z-16+4y-16)=0
8x-4y-8z+16=0
2x-y-2z+4=0
Ahora si
·
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¡Hola Sia!
Sea A(1,4,1); B(-1,0,1) y C(5,8,3)
a) Calcular vector AB AC
b) El área del triángulo (ABC)
c) La superficie del paralelogramo firmado por vector AB y AC.
d) La distancia que separa el punto C de la recta (AB)
e) Demostrar que 2x-y-2z+4=0 es una ecuación del plano P=(ABC)
--------------
a)
$$\begin{align}&\vec {AB}=B-A=(-1,0,1)-(1,4,1)=(-2,-4,0)\\&\\&\vec {AC}=C-A=(5,8,3)-(1,4,1)=(4,4,2)\\&\end{align}$$b)
Es 1/2 del módulo del producto vectorial de esos dos vectores.
| i j k |
|-2 -4 0 | = -8i +4j +8k
| 4 4 2 |
A= (1/2) sqrt(8^2+4^2+8^2) = (1/2)sqrt(144) = 1/2·12 = 6
c)
El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial, luego lo mismo de antes sin dividir por 2
A=12
·
d)
La distancia punto recta es la altura del paralelogram, conociendo el área y la base se calcula
A = bh
h = A/b
y la base es la distancia entre A y B
b=sqrt[(-2)^2+(-4)^2] = sqrt(20) = 2sqrt(5)
h = 12/(2sqrt(5)) = 6/sqrt(5) = 6sqrt(5)/5
·
e) Si los tres puntos satisfacen la ecuación, será un plano que los contiene
2x-y-2z+4=0
A(1,4,1); B(-1,0,1) y C(5,8,3)
Para A: 2·1 - 4 - 2·1 + 4 = 2 - 4 - 2 + 4 = 0
Para B: 2(-1) - 2·1 + 4 = -2 - 2 + 4 = 0
Para C: 2·5 - 8 - 2·3 + 4 = 10 - 8 - 6 + 4 = 0
Luego contiene a los tres puntos es el plano (o al menos uno de los planos) que los contiene. En este caso es seguro que el plano es único ya que no fuera único los tres puntos estarían alineados y la distancia de C a la recta AB habría sido 0.
Y eso es todo, saludos.
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