Demostrar que una aplicación lineal es inyectiva
Sea L: R^n --> R^n una aplicación lineal definida por L(X) = AX, donde A es una mátriz de nxn. Demostrar que L es inyectiva si y sólo si det(A) es diferente de cero.
Está extraño, porque considero la matriz
A = (1, 0)
...(0, -1)
Cuyo determinante es diferente de cero, sin embargo, evaluando cualquier vector v = (x, y), vemos que L(v) = (0, 0), de manera que L no es inyectiva, pues manda a todos los vectores a un mismo punto.
2 Respuestas
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¡Hola Mario Alejandro!
Si es inyectiva, el núcleo de la aplicación es solo el vector nulo y se calcula con el sistema de ecuaciones dado por la matriz con el vector nulo en los resultados:
AX = 0
Eso es un sistema homogéneo que para tener respuesta única debe suceder que el determinante de la matriz A sea distinto de 0.
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Y si el determinante es distinto de 0 entonces el sistema
AX=0
Tiene respuesta única con lo cual el núcleo es solo el vector nulo y la aplicación es inyectiva.
Y eso es todo, saludos.
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