Álgebra abstracta...demostración sobre el isomorfismo de una función bien definida!
De antemano agradezco su apoyo de manera infinita en este ejercicio sobre isomorfismos...
Sea φ:G→G´ un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G´. Muéstrese que la transformación φ^-1: G´→G definida para x´ φ^-1=x por x φ=x´ donde x´pertenece a G´, es una función bien definida y es un isomorfismo entre G´ y G.
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
Ya empezamos con la notación inversa del álgebra, es una de las cosas que menos me gustan del mundo por ser contradictoria con la del Análisis Matemático.
A ver si me aclaro, la definicion de
φ^-1: G´→G
Es:
Dado x' de G' la imagen por φ^-1 es el x de G tal que φ de x es x'.
Lo que pasa es que todo esto lo complican diciendo que
x'φ^-1=x tal que xφ=x'
1) Demostramos que es una función bien definida.
Como φ es un isomorfismo entre G y G' es una función sobreyectiva e inyectiva, luego para todo x' de G' existe uno y solo un elemento x de G tal que xφ=x'. Luego todo elemento de G' tiene una única imagen por φ^-1 y esta es una función.
2) Y es un isomorfismo porque
2a) Es inyectiva
Sean x', y' de G tales que x'φ^-1 = y'φ^-1
entonces por definición
(x'φ^-1)φ = x'
(y'φ^-1)φ = y'
y como x'φ^-1 = y'φ^-1 hemos aplicado la función φ al mismo elemento,
luego x'=y'
2b) Es sobreyectiva
Sea x de G, tomamos el elemento xφ de G', entonces por definición
(xφ)φ^-1=z
donde z es un elemento de G tal que zφ= xφ,
como φ es un isomorfismo se tiene z=x
luego (xφ)φ^-1 = x
Asi que todo elemento x de G tiene un elemento x'=xφ de G' tal que
x'φ^(-1) = x
Luego es sobreyectiva.
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Y al ser una función y ser inyectiva y sobreyectiva es un isomorfismo.
Y eso es todo, saludos.
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