Dudas sobre el tema de subgrupos en álgebra abstracta!
Espero que me puedan apoyar en este tema... De antemano muchas gracias!
Sea G un grupo. Sea H el subconjunto de G que consta de la identidad y de todos los elementos de G de orden 2. ¿Es H un subgrupo?, ¿Por qué?. Si G es abeliano, ¿entonces H es un subgrupo?, ¿Por qué?
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
No tiene porque ser un grupo, luego es falso. Que dos elementos sean de orden dos no significa que su producto sea de orden 2 o sea el elemento neutro.
El caso más claro lo tenemos con S3. El subconjunto H sería
H = {e, (1,2), (1,3), (2,3)}
Pero (1,2)·(1,3) = (1,2,3) que no pertenece a H, luego H no es un subgrupo.
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Si G es un grupo abeliano H si que es un subgrupo, lo demostamos por el teorema de caracterización de subgrupos
1) H no es vació tiene el elemento neutro,
2) Dados dos elementos a y b de H.
2a)Si a es el neutro
e·b^(-1) = b^(-1) perteneciente a H ya que b=b^(-1) porque al ser b de orden 2
b·b=e ==> b·b^b^(-1) = b^(-1) ==> b=b^(-1)
2b) Si b es el neutro
a·e=a que pertenece a H
2c) Y si ninguno es el neutro
[a·b^(1)]·[a·b^(-1)] = a·a·b^(-1)·b^(-1) =
ya vimos antes que b^(-1)=b
= a·a·b·b = e·e=e
Luego ab^(-1) tiene orden dos y pertenece a H.
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Y ya está, saludos.
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