Determine los valores de la constante k de manera que el siguiente sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones.

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Hola Mr Sopo!

Si has dado funciones o rectas, sabrás que una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Es una recta.

Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las dos rectas.

Para que haya infinitas soluciones, tendrá que haber infinitos puntos de corte, es decir, las dos rectas han de ser coincidentes y eso ocurre cuando los coeficientes son proporcionales:

$$\begin{align}&\frac{4k}{32}=\frac{-3}{k-11}\\&\\&\frac{k}{8}=\frac{-3}{k-11}\\&\\&k^2-11k=-24\\&\\&k^2-11k+24=0\\&\\&k=3\\&k=8\end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola Mr Sopo!

Es un sistema homogéneo. Un sistema homogéneo es siempre compatible, tiene al menos la solución (0, 0) siempre y puede tener más soluciones si las dos ecuaciones son dependientes, en el caso de solo dos ecuaciones eso significa que los coeficientes son proporcionales.

No sé si habrás dado ya la teoría de los determinantes. Si la has dado habra infinitas soluciones si el determinante es 0

4k(k-11) - (-3)·32 = 0

4k^2 - 44k + 96 = 0

k^2 - 11k + 24 = 0

$$\begin{align}&k= \frac{11\pm \sqrt{121-96}}{2}=\frac{11\pm5}{2}\\&\\&k_1=3\\&k_2=8\end{align}$$

Luego hay infinitas soluciones si k=3 y k=8

.....

Si no has dado determinantes para que haya infinitas soluciones debe ser proporcionales los coeficientes es decir:

$$\begin{align}&\frac{4k}{32}=\frac{-3}{k-11}\\&\\&\frac {k}{8}=\frac{-3}{k-11}\\&\\&k(k-11)= -24\\&\\&k^2-11k+24=0\end{align}$$

Que como ves es la misma ecuación que antes y ya está resuelta, hay infinitas soluciones para k=3 y k=8

Y eso es todo.

Sa lu dos.

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