Calcular el volumen limitado por el paraboloide
¿Cómo se calcula el volumen de este paraboloide?
Aquí dejo la función en cuestión
1 respuesta
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¡Hola Jaime!
Esta es la gráfica.
El dominio de integración será la intersección del palano con el paraboloide
$$\begin{align}&\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=7\\&\\&\text{los valores extremos para x son}\\&\\&\frac{x^2}{9}=7\implies x=\pm \sqrt{63}\\&\\&\text{y las curvas que delimitan el dominio en el eje Y son}\\&\\&y=\pm \sqrt{16\left(7-\frac{x^2}{9} \right)}=\pm \frac 43 \sqrt{63-x^2}\\&\\&\text{Pero tanto el dominio como las funciones del plano y}\\&\text{el paraboloide son siemetricas en x y en y, eso hace que}\\&\text{que haya el mismo volumen en los 4 octantes primeros}\\&\\&\text{Con todo esto el volumen es}\\&\\&V=4\int_{0}^{\sqrt{63}}\int_{0}^{\frac 43 \sqrt{63-x^2}} \int_{\frac{x^2}{9}+\frac {y^2}{16}}^7 dz\,dy\,dx\\&\\&\text{Hacemos los cambios de variable}\\&\\&t=\frac x3\implies dx=3dt\\&\\&s=\frac{y}{4}\implies dy=4ds\\&\\&\text{el dominio ahora es } \\&t^2+s^2=7\\&\text{y queda}\\&\\&V=4·3·4\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\sqrt{7-t^2}}\int_{t^2+s^2}^7\;dz\,ds\,dt\\&\\&\\&\text{Pero sabemos que eso es muy difícil integrar}\\&\text{usaremos coordenadas cilíndricas}\\&\\&t=\rho \cos \theta\\&s=\rho sen\; \theta\\&z=z\\&\\&\text{tengamos en cuenta que}\\&\rho^2=t^2+s^2 = 7\implies \rho \in[0, \sqrt 7]\\&\\&\text{Y también que el jacobiano del cambio es }\rho\\&\text{y la integral se debe multiplicar por él}\\&\\&V=48\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\frac \pi2}\int_{\rho^2}^7\rho\;dz\,d\theta\,d\rho=\\&\\&48\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\frac \pi2}\rho \bigg[z\bigg]_{\rho^2}^7 \,d\theta\,d\rho=\\&\\&48\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\frac \pi2}(7\rho-\rho^3) \,d\theta\,d\rho=\\&\\&48\int_0^{\sqrt 7}(7\rho-\rho^3)\bigg[\theta \bigg]_0^{\frac \pi 2}d\rho=\\&\\&48· \frac{\pi}2 \int_0^{\sqrt 7}(7\rho-\rho^3)\;d\rho=\\&\\&24\pi\left[ \frac{7\rho^2}{2}-\frac{\rho^4}{4} \right]_0^{\sqrt 7}=24\pi\left(\frac {49}2-\frac{49}{4} \right)=\\&\\&24\pi·\frac{49}{4}=294\pi\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Gracias Valero, no pensé que fuera tan complicado calcular esto, me comentas que no se puede integrar así que usas coordenadas cilíndricas.¿En este punto me pierdo? y mencionas tambien que el jacobino del cambio es p, en este punto no lo entiendo.
Tengo que dar un repaso a coordenadas cilíndricas y que me presnten a jacobino que no lo conozco.
Saludos. eres un genio
No digo que no se pueda hacer con coordenadas cartesianas, pero estos ejercicios están hechos para usar coordenadas cilíndricas. Si no te pidieran el método podrías calcularlo cómodamente con WolfranAlpha.
Pero si la quieres hacer a mano te espera todo esto:
$$\begin{align}&48\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\sqrt{7-t^2}}\int_{t^2+s^2}^{7}dz\,ds\,dt=\\&\\&48\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{\sqrt{7-t^2}}(7-t^2-s^2)ds\,dt=\\&\\&48\int_{0}^{\sqrt 7}\left[(7-t^2)s-\frac{s^3}{3} \right]_0^{\sqrt {7-t^2}}dt=\\&\\&48\int_0^{\sqrt 7}\left((7-t^2)^{3/2}-\frac{(7-t^2)^{3/2}}{3} \right)dt=\\&\\&48·\frac 23\int_0^{\sqrt 7}(7-t^2)^{3/2}dt=\\&\\&t=\sqrt 7 \,sen u\\&dt=\sqrt 7\,\cos u \;du\\&t=0\implies u=0\\&t= \sqrt 7 \implies u =arcsen \frac{\sqrt 7}{\sqrt 7}= \frac{\pi}{2}\\&\\&=32\int_0^{\pi/2}(7-7sen^2u)^{3/2} \sqrt 7 \cos u\;du=\\&\\&32\int_0^{\pi/2} 7^{3/2}(1-sen^2u)^{3/2} \sqrt 7 \cos u\;du=\\&\\&32·49\int_0^{\pi/2} (\cos^2u)^{3/2}cosu \;du=\\&\\&1568\int_0^{\pi/2}\cos^4u\; du=\\&\\&1568\int_0^{\pi/2}\left(\frac 12+ \frac{\cos 2u}{2}\right)^2du=\\&\\&1568·\frac 14\int_0^{\pi/2}(1+2 \cos 2u+\cos^2 2u)du=\\&\\&392\left(\bigg[ u+sen\, 2u \bigg]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\left(\frac 12+\frac{\cos 4u}{2} \right)du\right)=\\&\\&392\left(\frac \pi2+\bigg[\frac u2+\frac{sen\, 4u}{8} \bigg]_0^{\pi/2} \right)=\\&\\&392\left(\frac \pi 2+\frac \pi 4 \right)=392·\frac {3\pi}4=294\pi\\&\end{align}$$No es jacobino, es jacobiano. Y es un factor fijo o variable por el que se debe multiplicar el integrando cuando se hace un cambio de variable, ya que un cambio de variable puede hacer que el diferencial de volumen, que en cartesinas es un cubito, tome formas muy distintas. En este caso se doblan y se hacen más grandes conforme más lejos están del origen, de ahi que el diferencial de volumen se multiplica por rho que es la distancia que tiene al origen para hacer la compensación. Pero todo eso tienes que estudiarlo en libros o apuntes, no puedo explicarlo aquí del todo.
Saludos.
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