Álgebra abstracta...demostración sobre si en un un grupo finito existe sólo un subgrupo de un orden dado!

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¡Hola Zankass!

La conjugación de un grupo es un grupo con el mismo número de elementos, no sé si habrás dado eso.

Sea G un grupo, H un subgrupo de G y g un elemento de G. El conjugado de H por g es g^(-1)Hg. Veamos primero que es un subgrupo de G.

Sean a,b de g^(-1)Hg

a= g^(1)cg

b= g^(-1)dg

con c y d de H

b^(-1) = g^(-1)·d^(-1)·g

ab^(-1) = g^(1)·c·g · g^(-1)·d^(-1)·g = g^(-1)·c·d^(-1)·g

Como d € H ==> d^(-1) € H ==>c·d^(-1) € H ==>

g^(-1)·c·d^(-1)·g € g^(-1)Hg  ==> a·b^(-1) € g^(-1)Hg

Luego g^(-1)Hg

Ahora veamos que g^(-1)Hg es isomorfo con H.

El isomorfismo va a ser por supuesto el natural. Llamando s al isomorfismo

s : H ----->g^(-1)Hg

H ------>g^(-1)·h·g

Es homorfismo

(hk)s  = g^(-1)·h·k·g =g^(-1)·h· g·g^(-1) · k·g = hs · ks

Es monomorfismo.  Sean h y k de H tales que hs = ks

g^(-1)·h·g = g^(1)·k·g

multiplicando por g a izquierdas

hg = kg

multiplicando por g^(-1) a derechas

h=k

Es epimorfismo.  Dado a € g^(-1)Hg tiene la forma

a = g^(-1)hg   con h € H

luego

hs = g^(-1)hg = a

Luego todo elemento a de g^(-1)Hg tiene un elemento h de H tal que hs=a, es un epimorfismo

Luego ya tenemos las condiciones que necesita s para ser un isomorfimo y los grupos generados por la conjugación de un subgrupo H por un elemento g de G son isomorfos a H.

Entonces si en un grupo existe un solo grupo de cierto orden tendremos que todas la conjugaciones de ese grupo serán el mismo grupo.

Por tanto dado h € H y cualquier g de G tendremos

g^1·h·g € H

Luego H es un subgrupo normal de G.

Y eso es todo, saludos.

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