Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones

Supongo que te refieres a las funciones:

$$\begin{align}&y=-x^2-3x+6\\\\&x+y=3\end{align}$$

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Encontrar los puntos de corte entre ambas funciones: 

$$\begin{align}&x+y=3 \Rightarrow y=3-x\\\\&3-x=-x^2-3x+6\Rightarrow-x^2-2x+3=0 \Rightarrow x=-3;\;x=1\end{align}$$

Ya tienes los límites de integración, ahora cogemos un valor de x del intervalo (-3,1) para ver qué función está por encima. Tenemos:

$$\begin{align}&x=0\\\\&0+y=3\Rightarrow y=3\\\\&y=6\end{align}$$

La parábola va por encima. Ahora aplicamos la regla de Barrow para el área comprendida entre dos funciones:

$$\begin{align}&\int_{-3}^1[(-x^2-3x+6)-(3-x)]dx=10.67\end{align}$$

Y ya tienes el área.