Ejercicio sobre producto directo de grupo.
Sea G un grupo tal que G = H1 XH2. Muestre que G es abeliano si y solo si H1
y H2 lo son.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Luis!
Sea G abeliano (a,b)(c,d) = (c,d)(b,a) para todo a,c de H1 y todo bd de H2
(a,b)(c,d) = (ac, bd)
(c,d)(a,b) = (ca, db)
luego
(ac, bd) = (ca,db)
por tanto
ac=ca para todo a,c de H1 ==> H1 es abeliano
bd=sb para todo b,d de H2 ==> H2 es abeliano
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Y ahora en el otro sentido, sean H1 y H2 abelianos
ac=ca para todo a,c de H1
bd=db para todo b,d de H2
(a,b)(c,d) = (ac, bd) = (ca, db) = (c,d)(a,b) para todo (a,b),(c,d) de G
Luego G es abeliano.
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Y eso es todo, espero que te sirva.
Saludos.
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