Álgebra abstracta... Listar y mostrar elementos en clases laterales!
Solicitando de su apoyo de nueva cuenta en este ejercicio, gracias!
Sea ϕ:Z_18→Z_12 el homomorfismo donde 1ϕ=10.
- Encuentrese el kernel K de ϕ.
- Listense las clases laterales en Z_18⁄K mostrando los elementos en cada clase lateral.
- Encuentrese el grupo Z_18 ϕ.
- Dese la correspondencia entre Z_18/K y Z_18 ϕ dada por la transformación ψ, (Primer teorema del isomorfismo).
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
En Z_n el elemento neutro es el 0. El 1 sirve como generador de Z_n por lo cual basta con conocer su imagen para conocer la de todos los elementos
jϕ = (1+1+1+...j veces)ϕ = (1ϕ + 1ϕ + 1ϕ+ ...) n veces.
Por lo tanto las imágenes de Z_18 serán de la forma
Im( ϕ)={10 (mod 12), 20 (mod 12), 30 (mod 12), 40 (mod 12), etc}
Y la imagen será 0 cuando 10j mod 12 =0
Calculamos el mínimo común múltiplo de 10 y 12
mcm(10, 12) = mcm (2·5, 2^2·3) = 2^2 · 3 · 5 = 60
Luego tenemos
6ϕ = 60 (mod 12) = 0
Y todos los que sean sumas de 6 cumplan
(6+6)ϕ = 6ϕ + 6ϕ = 0 + 0 = 0
Y el núcleo es
K = Ker ϕ = {0, 6, 12}
el 18 ya no porque es el 0
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b)
Respecto a las clases laterales sabemos que los grupos abelianos son las mismas a derechas que a izquierdas. En grupos abelianos y Z_n en particular se usa la notación aditiva
Z_18+K
0+K = {0,6,12}
1+K = {1,7,13}
2+K = {2,8,14}
3+K = {3,9,15}
4+K = {4,10,16}
5+K = {5,11,17}
Y en la siguiente tendremos
6+K= {6,12,0} = {0,6,12}
Que ya la teníamos y todas las siguientes también se repiten.
Luego el conjunto de todas las clases laterales es:
A+K = {{0,6,12}, {1,7,13}, {2,8,14}, {3,9,15}, {4,10,16}, {5,11,17}}
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c)
La imagen del 0 siempre es 0
0ϕ = 0
1ϕ = 10
2ϕ = 20 (mod 12) = 8
3ϕ = 30 (mod 12) = 6
4ϕ = 40 (mod 12) = 4
5ϕ = 50 (mod 12) = 2
6ϕ = 60 (mod 12) = 0
Ya se repiten a partir de aqúi, luego
(Z_18)ϕ = {0, 2, 4, 6, 8, 10} como subgrupo de Z_12
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d) El primer teorema del isomorfismo dice que hay un isomorfismo entre G/Ker f e Im(f)
En este ejercicio y con la notación que se está usando
Z_18/K ~ (Z_18)ϕ
Y la relación es
(0+K)ψ = 0
(1+K)ψ = 10
(2+K)ψ = 8
(3+K)ψ = 6
(4+K)ψ = 4
(5+K)ψ = 2
O si se quiere expresar en una fórmula
(i+K)ψ = 2(6-i) (mod 12)
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Y eso es todo, saludos.
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