Debo usar inducción para probar la siguiente integral...

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¡Hola Ángela!

Se supone que n será un número natural por que se usa en el factorial. No toda propiedad que se cumpla para todos los números naturales tiene que demostrarse por inducción, puede ser que sirva con deducción.

Esa es una integral que se realiza por partes y hay que ejecutarla n veces para resolverla, pienso que tal vez sea más fácil por inducción.

$$\begin{align}&\text{Para n=1 se cumple}\\&\\&\int_0^{\infty}xe^{-x}dx=\\&\\&u= x\qquad\qquad du =dx\\&dv=e^{-x}dx\quad\;\; v=-e^{-x}\\&\\&=-x e^{-x}\bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-x}dx=\\&\\&\lim_{x\to \infty}-xe^{-x}+0 -e^{-x}\bigg|_0^{\infty}=\\&\\&\text{Ese límite es 0 porque las exponenciales crecen más}\\&\text{rápido que las polinómicas.  Si no lo tienes claro}\\&\text{puedes usar la regla de l'Hôpital}\\&\lim_{x\to\infty} xe^{-x}=\lim_{x\to\infty} \frac x{e^{x}}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^x}=\frac{1}\infty=0\\&\\&=-0+0-(e^{-\infty}-e^{-0})=-(0-1)= 1\\&\\&\text{Supongamos que se cumple para n y veamos}\\&\text{s se cumple para n+1}\\&\\&\int_0^{\infty}x^{n+1}e^{-x}dx=\\&\\&u=x^{n+1}\qquad \quad du =(n+1)x^n\\&dv=e^{-x}dx\qquad v=-e^{-x}\\&\\&=x^{n+1}e^{-x}\bigg|_0^{\infty}+(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\lim_{x\to\infty}x^{n+1}e^{-x}-0+(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\text{Como ya decía antes ese límite es 0, si no lo ves claro}\\&\text{puedes aplicar l'Hôpital n+1 veces}\\&\\&(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\text{Y esa integral vale n! por hipótesis de inducción}\\&\\&=(n+1)n! = (n+1)!\end{align}$$

Y con eso queda probada la inducción.

Sa lu dos.

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