Esta función, al hallar la primera derivada, me dan números decimales
f(x)=x^3-3x^2-5
Encontrar mínimo relativo, el punto de inflexión y la ecuación de la recta tangente en x=0
No entiendo a lo que te refieres con los decimales de la primer derivada.
Tienes la función
f(x)=x^3-3x^2-5
f'(x) = 3x^2 - 6x
f''(x) = 6x - 6
Veamos los mínimos (y máximos) relativos, pero antes, voy a escribir f'(x) de manera diferente para que salgan directo (sacando factor común), tenemos que:
f'(x) = 3x (x - 2)
Por lo tanto f'(x) = 0, implica
x = 0 o x = 2
veamos f''(x) en cada caso:
f''(0) = 6*0 - 6 = -6 <0 (máximo relativo)
f''(2) = 6*2 - 6 = 6 > 0 (mínimo relativo)
Punto de Inflexión (f''(x) = 0)
0 = 6x - 6 Entonces x = 1
Ecuación de la tangente en x=0
f(0) = 0^3 - 3*0^2 - 5 = -5
Ya vimos que f'(0) = 0 Por lo tanto la ecuación de la recta pendiente a la función en cero será
y = -5
1 respuesta más de otro experto
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¡Hola MªAntonia!
Para encontrar el mínimo relativo derivaremos e igualaremos a 0, luego debemos verificar si es mínimo relativo bien sea usando la derivada segunda o bien viendo que antes decrece y luego crece.
Para el punto de inflexión debe ser cero la derivada segunda y la tercera distinta de 0
$$\begin{align}&f(x) = x^3-3x^2-5\\&\\&f'(x)= 3x^2-6x=0\\&\\&3x(x-2)=0\\&\\&x_1=0\\&x_2=2\\&\\&f''(x)=6x-6\\&\\&f''(0) = -6\lt0 \implies \text{máximo relativo}\\&\\&f''(2)=12-6=6\gt 0\implies \text{mínimo relativo}\\&\\&\text{Y el mínimo relativo es el punto}\\&(2,f(2)) = (2, -9)\\&\\&---------\\&\text{Ahora el punto de inflexión}\\&\\&f''(x)=6x-6=0\\&\\&6x=6\\&x=1\\&\\&f'''(x)=6\\&f'''(1) = 6 \neq 0\\&\\& \text{Luego en x=1 hay un punto de inflexión, el punto es}\\&\\&(1,f(1)) = (1,-7)\\&\\&--------------\\&\\&\text{La ecuación de la recta tangente en }(x_0,y_0)\; es\\&\\&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&x_0=0\\&y_0=f(x_0)=f(0)=-5\\&\\&f'(x)=3x^2-6x\\&f'(x_0)=f'(0)=0\\&\\&\text{Luego la recta tangente es}\\&\\&y=-5 + 0(x-0)\\&\\&y=-5\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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