Demostrar que existe un vector tal que su imagen es cero
Problema. Sea A:E --> E aplicacion lineal nilpotente. Pruebe que existe algún vector u (diferente de 0) tal que A(u) = 0.
Si supongo que
1. A es nilpotente
2. No existe tal vector. Entonces para todo vector w se tiene que
A(w) = [A(w)]^(n - 1) [A(w)]^n = m diferente de cero.
Por lo tanto, [A(w)]^n jamas es cero, para toda n.
Pero no sé si estoy correcto.
1 Respuesta
·
·
¡Hola Mario Alejandro!
No lo dicen pero se supone que A debe ser distinta de la matriz nula. Como es nilpotente existe un número m tal que A^m = 0 pero A^(m-1) esdistinta de la matriz nula.
Entonces (A^m)·w = 0 para todo w
A·{[A^(m-1)]·w} = 0 para todo w
como A^(m-1) no es la matriz nula debe existir algún vector v tal que
[A^(m-1)]·v sea distinto de 0
Y si llamamos u a este vector no nulo
u = [A^(m-1)]·v
tendremos que
A·u = 0
Eso es todo, saludos.
:
:
