? ¿Cómo resolver esta derivación implícita?
Encontrar d^2y /dx^2 en el punto (-1,2)
xy +y^2 = 2
logro encontrar la primera derivada..
dy/dx = -y/x +2
Ayúdame a encontrar la respuesta...
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Di Stefano!
Lo hago completo y así reviso si está bien la primera derivada.
$$\begin{align}&xy+y^2=2\\&\\&\text{derivo poniendo } y' \text{ que es más corto y claro que }\frac {dy}{dx}\\&\\&y+xy'+2yy'=0\\&\\&xy'+2yy'=-y\\&\\&y' = -\frac{y}{x+2y}\\&\\&\text{no la tenías bien.}\\&\\&\text{Y ahora derivamos implícitamente esto}\\&\\&y''=- \frac{y'(x+2y)-y(1+2y')}{(x+2y)^2}=\frac{-xy'+y}{(x+2y)^2}\\&\\&\text{Para lo que nos piden no sería necesario }y',\\&\\&\text{pero vamos a hacerlo}\\&\\&y''=\frac{-x\left( -\frac{y}{x+2y}\right)+y}{(x+2y)^2}=\frac{xy+xy+2y^2}{(x+2y)^3}=\frac{2y(x+y)}{(x+2y)^3}\\&\\&\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=-1,\;y=2}=\frac{2·2(-1+2)}{(-1+2·2)^3}=\frac{4}{27}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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