¿Estoy bien acerca de aplicaciones linales?

Esto es sólo para ver si estoy bien o estoy mal y/o puedan corregirme.

Por ejemplo, tengo una aplicación lineal T: V ---> W. Bueno, mejor una transformación L: M2x2 --> M2x2, dada por ejemplo, por T(A) = A + A^T.

Para obtener la matriz asociada de una base B1 a una base B2. Lo que tengo que hacer es expresar cada imagen de B1 en términos de B2. Tomo los coeficientes de cada una para formar el vector de cordenadas respecto a la base B2. Luego esos vectores los pongo en columnas para formar mi matriz asociada P a la transformacion respecto a las bases B1 y B2.

Ahora bien, yo quiero saber cuál es la imagen de la matriz [1 2, 3 4] = [col 1, col2], pero no mediante la función T(A) = A + A^T, sino, multiplicando la matriz asociada P. 

Pero no puedo multiplicar la matriz asociada P por la matriz [1 2, 3 4] porque esta última no es un vectore. ¿Entonces cómo lo paso a vector?

Lo que tengo que hacer es expresar mi matriz [1 2, 3 4] como combinación lineal de las matrices de mi base B1, para así tomar los coeficientes, y mi vector de coordenadas será el vector W que representará a mi matriz [1 2, 3 4].

Ahora si, T[1 2, 3 4] = PW y listo.

Yo antes no sabía que hacer, porque siempre uno decía, pues mi matriz [a b, c d] es mi vector (a b c d), pero no sabía por qué, pero la razón es que siempre trabajabamos con bases canonicas y ya ni teníamos que sacar el vector de coordenadas que lo represente porque dará (a b c d).

¿Todo lo que he escrito de inicio a fin estoy correcto o equivocado?